Ευκλείδεια γεωμετρία: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Στις αρχές του 19ου αιώνα,ο [[LazareΝικολά Carnotκαρνό|CarnotΚαρνό]] και ο [[MobiusΆουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους|Μέμπιους]] ανέπτυξαν συστηματικά τη χρήση των υπογεγραμμένων γωνιών και των ευθύγραμμων τμημάτων ως έναν τρόπο για την απλοποίηση και ενοποίηση των αποτελεσμάτων.

Η σημαντικότερη εξέλιξη του αιώνα στη γεωμετρία σημειώθηκε όταν,γύρω στο 1830,ο [[Janos Bolyai]] και ο [[NikolaiΝικολάι Ivanovich LobachevskyΛομπατσέφσκι]] δημοσίευσαν χωριστά έργο στην [[Μη ευκλείδεια γεωμετρία|μη Ευκλείδεια γεωμετρία]] , στην οποία το αξίωμα των παραλλήλων δεν είναι έγκυρο.Δεδομένου ότι η μη Ευκλείδεια γεωμετρία είναι αποδεδειγμένα σχετικά συνδεδεμένη με την Ευκλείδεια γεωμετρία,το αξίωμα των παραλλήλων δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα.

Κατά τον 19ο αιώνα,έγινε επίσης αντιληπτό ότι τα δέκα αξιώματα και κοινές έννοιες του Ευκλείδη δεν επαρκούν για να αποδείξουν όλα τα θεωρήματα που αναφέρονται στα Στοιχεία.Για παράδειγμα,ο Ευκλείδης υπέθεσε σιωπηρά ότι κάθε γραμμή περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία , αλλά η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα , και ως εκ τούτου θα πρέπει να αποτελεί από μόνης της ένα αξίωμα.Η πρώτη γεωμετρική απόδειξη στα Στοιχεία,όπως φαίνεται στο σχήμα παραπάνω,είναι ότι κάθε τμήμα γραμμής είναι μέρος ενός τριγώνου.Ο Ευκλείδης το κατασκεύασε με τον συνήθη τρόπο, σχεδιάζοντας κύκλους γύρω από τα δύο τελικά σημεία και παίρνοντας την τομή τους ως την τρίτη [[κορυφή]].Τα αξιώματά του,ωστόσο,δεν εγγυώνται ότι οι κύκλοι τέμνονται στην πραγματικότητα,επειδή δεν υποστηρίζουν τη γεωμετρική ιδιότητα της συνέχειας,η οποία από Καρτεσιανή άποψη είναι ισοδύναμη με την ιδιότητα της [[Πραγματικός αριθμός|πληρότητας]] των πραγματικών αριθμών.Ξεκινώντας από αυτό του [[MoritzΜόριτζ PaschΠας|Μόριτς Πας]],το 1882,πολλά βελτιωμένα αξιωματικά συστήματα για γεωμετρία έχουν προταθεί,τα ποιο γνωστά από τα οποία είναι εκείνα των [[ΑξιώματαΝτάβιντ Χίλμπερτ|HilbertΧίλμπερτ]],[[George Birkhoff]] και [[TarskiΤάρσκι]].

Η έννοια της [[Απειροελάχιστη ποσότητα|απειροελάχιστης ποσότητας]] είχε προηγουμένως συζητηθεί εκτενώς από την [[Ελέα|σχολή EleaticΕλεατική]],αλλά κανείς δεν ήταν σε θέση να τους βάλει σε μια σταθερή λογική βάση με τα παράδοξα όπως αυτό του [[Ζήνων ο Ελεάτης|Ζήνων]] να εμφανίζονται χωρίς μια παγκόσμια αποδεκτή λύση.Ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε τη [[μέθοδο της εξάντλησης]] αντί γι αυτήν της απειροελάχιστης απόστασης.

Στις αρχές του 20ου αιώνα οι  [[Otto Stolzstolz|Ότο στόλτς]], [[Paul du Bois-Reymond]], [[GiuseppeΤζουζέπε VeroneseΒερονέζε]] και άλλοι παρήγαγαν αμφιλεγόμενο έργο σε μη αρχιμήδεια μοντέλα της ευκλείδειας γεωμετρίας,στα οποία η απόσταση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να είναι άπειρη ή απειροελάχιστη,με την έννοια [[Isaac Newton|Newton]]–[[Gottfried Leibniz|Leibniz]].Πενήντα χρόνια αργότερα,ο [[Abraham Robinsonrobinson|Άμπραχαμ Ρόμπινσον]] συνέφερε με μια αυστηρή λογική θεμελίωση για το έργο του Veronese.

Η τοποθέτηση της Ευκλείδειας γεωμετρίας σε μια σταθερή αξιωματική βάση ήταν μια ενασχόληση των μαθηματικών για αιώνες.Ο ρόλος των θεμελιωδών εννοιών,ή αλλιώς των απροσδιόριστων εννοιών εξελίχθηκε ξεκάθαρα από τον  [[Alessandro Padoa|Αλεσάντρο Παντοα]] από την αντιπροσωπεία του Peano στην σύσκεψη του 1900 στο Παρίσι.<blockquote>...όταν ξεκινήσουμε να διατυπώνουμε τη θεωρία,μπορούμε να φανταστούμε ότι τα ακαθόριστα σύμβολα είναι εντελώς άνευ νοήματος και ότι οι προτάσεις χωρίς απόδειξη είναι απλά όροι που επιβάλλονται επί των ακαθόριστων συμβόλων.</blockquote><blockquote>Έπειτα το σύστημα των ιδεών που έχουμε αρχικά επιλέξει είναι απλά μια ερμηνεία των ακαθόριστων συμβόλων,αλλά αυτή η ερμηνεία μπορεί να αγνοηθεί από τον αναγνώστη,ο ποίος είναι ελεύθερος να την αντικαταστήσει στο μυαλό του με μια άλλη ερμηνεία...η οποία πληροί τις προϋποθέσεις...</blockquote><blockquote>Έτσι,τα λογικά ερωτήματα γίνονται εντελώς ανεξάρτητα από τα εμπειρικά ή τα ψυχολογικά ερωτήματα...</blockquote><blockquote>Το σύστημα των ακαθόριστων συμβόλων μπορεί τότε να θεωρηθεί ως η αφαίρεση που λαμβάνεται από τις εξειδικευμένες θεωρίες που προκύπτουν όταν...το σύστημα των απροσδιόριστων συμβόλων αντικαθίσταται διαδοχικά από κάθε μία από τις ερμηνείες...</blockquote><blockquote>— Padoa, ''Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive qulelconque''</blockquote>Δηλαδή τα μαθηματικά είναι ανεξάρτητη γνώση μέσα σε ένα ιεραρχικό πλαίσιο.Όπως είπε ο  [[BertrandΜπέρτραντ RussellΡάσελ]].<blockquote>Αν η υπόθεσή μας είναι για το οτιδήποτε, και όχι για ένα ή περισσότερα συγκεκριμένα πράγματα,τότε τα συμπεράσματά μας αποτελούν μαθηματικά.'Ετσι,τα μαθηματικά μπορούν να οριστούν ως το αντικείμενο στο οποίο δε ξέρουμε ποτέ για τι πράγμα μιλάμε,ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια.</blockquote><blockquote>— Bertrand Russell,''Τα Μαθηματικά και οι μεταφυσικοί''</blockquote>Τέτοιες θεμελιώδεις προσεγγίσεις κυμαίνονται μεταξύ του θεμελιωτισμού και του [[Φορμαλισμός|φορμαλισμού]].

* [[Αξιώματα Χίλμπερτ|Αξίωμα του HilbertΧίλμπερτ]]:Τα αξιώματα του Hilbert είχαν ως στόχο τον εντοπισμό ενός απλού και πλήρους συνόλου από ανεξάρτητα αξιώματα,από τα οποία θα μπορούσαν να συνταχθούν τα πιο σημαντικά γεωμετρικά θεωρήματα.Οι εκκρεμείς στόχοι ήταν να κάνουν την Ευκλείδεια γεωμετρία αυστηρή(αποφεύγοντας κρυμμένες υποθέσεις) και να καταστήσουν σαφείς τις επιπτώσεις του αξιώματος των παραλλήλων.

* [[Αξιωματα Birkhoff|Αξιώματα του BirkhoffΜπίρκοφ]]:Ο Birkhoff πρότεινε τέσσερα αξιώματα για Ευκλείδεια γεωμετρία που μπορούν να επιβεβαιωθούν πειραματικά με την κλίμακα και το μοιρογνωμόνιο.Αυτό το σύστημα στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στις ιδιότητες των [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]].Οι έννοιες της γωνίας και της απόστασης γίνονται θεμελιακές.

* [[Αξιώματα του Tarski|Αξιώματα του Τάρσκι]]:Ο Alfred Tarski(1902-1983) και οι μαθητές του προσδιόρισαν την στοιχειώδη Ευκλείδεια γεωμετρία ως τη γεωμετρία που μπορεί να εφαρμοστεί σε [[Λογική πρώτου βαθμού|πρώτης-τάξης λογική]] και η λογική της βάση δεν εξαρτάται από [[Θεωρία συνόλων|θεωρία των συνόλων]],σε αντίθεση με τα αξιώματα του Hilbert,που περιλαμβάνουν σύνολα σημείων.Ο Tarski απέδειξε ότι η αξιωματική διατύπωση της στοιχειώδους Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι συνεπής και πλήρης κατά μια ορισμένη έννοια:υπάρχει ένας αλγόριθμος ο οποίος,για κάθε πρόταση,μπορεί να αποδειχθεί είτε αληθείς ή ψευδείς.(Αυτό δεν παραβιάζει το [[Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ|Θεώρημα του Gödel]],επειδή η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν μπορεί να περιγράψει μια επαρκή ποσότητα αριθμητικής για να εφαρμόσει το θεώρημα.)Αυτό είναι ισοδύναμο με τον όρο decidability των πραγματικών κλειστών πεδίων,των οποίων η στοιχειώδης Ευκλείδεια γεωμετρία αποτελεί μοντέλο.