Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

επέκταση
(επέκταση)
[[Αρχείο:Congruent non-congruent triangles.svg|μικρογραφία|Ένα παράδειγμα ισότητας. Τα πρώτα δύο τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους και [[όμοια]] με το τρίτο τρίγωνο. Το τελευταίο δεν είναι τίποτα με τα πρώτα τρία. Παρατηρούμε ότι η θέση και η φορά των τριγώνων μπορεί να αλλάζουν αλλά αυτά που παραμένουν για να έχουμε ισότητα είναι η [[απόσταση]] και η [[γωνία]].]]
Ο Ευκλείδης αναφέρει ένα ζευγάρι ευθειών, επιπέδων ή στερεών ως "ίσα" αν τα μήκη, εμβαδά ή όγκοι τους είναι αντίστοιχα ίσοι. Όμοια για τις γωνίες. Η ισχυρότερη έννοια "[[Ισότητα (μαθηματικά)|ισότητα]]" ορίζεται να είναι η ιδιότητα που λέει πως ένα αντικείμενο έχει ίδιο μέγεθος και σχήμα με κάποιο άλλο. Επίσης ένα σχήμα είναι ίσο με ένα άλλο αν μετακινήσουμε το πρώτο πάνω στο δεύτερο και παρατηρήσουμε ότι ταυτίζονται. Π.χ ένα ορθογώνιο 2*6 με ένα ορθογώνιο 3*4 είναι ισοδύναμα αλλά δεν είναι ίσα. Σχήματα που είναι ίσα χωρίς να έχουν ίδιο μέγεθος αποκαλούνται [[όμοια]]. Αντίστοιχες γωνίες σε ένα ζευγάρι όμοιων σχημάτων είναι ίσες και αντίστοιχες πλευρές είναι ανάλογες μεταξύ τους.
 
== Σύμβολα και ορολογία ==
 
=== Ονόματα σημείων και αντικειμένων ===
Για την ονομασία σημείων χρησιμοποιούνται συνήθως κεφαλαία γράμματα του αλφαβήτου. Άλλα αντικείμενα όπως γραμμές,τρίγωνα ή κύκλοι παίρνουν το όνομα τους από ένα σύνολο επαρκών σημείων τους, που τα ορίζουν. Π.χ για ένα τρίγωνο αρκούν τρία σημεία(κορυφές) για να οριστεί. Ας πάρουμε το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α,Β και Γ. Το τρίγωνο αυτό θα έχει την ονομασία ΑΒΓ.
 
=== Συμπληρωματικές και παραπληρωματικές γωνίες ===
Γωνίες με άθροισμα 90°(δηλαδή μια ορθή γωνία) λέγονται [[Γωνία|συμπληρωματικές γωνίες]]. Έστω ότι έχουμε δύο [[Ημιευθεία|ημιευθείες]] με κοινή κορυφή που σχηματίζουν ορθή γωνία. Αν πάρουμε οποιαδήποτε ημιευθεία που ξεκινάει απ΄την ίδια κορυφή και βρίσκεται ανάμεσα στις δύο αυτές ημιευθείας, τότε σχηματίζουμε δύο συμπληρωματικές γωνίες. Οι ημιευθείες αυτές είναι άπειρες, άρα και τα ζεύγη συμπληρωματικών γωνιών είναι άπειρα.
 
Γωνίες με άθροισμα 180°(δηλαδή μια ευθεία γωνία) λέγονται [[Γωνία|παραπληρωματικές γωνίες]]. Παραπληρωματικές γωνίες έχουμε όταν μια ημιευθεία βρίσκεται ανάμεσα στις δύο ημιευθείες που ορίζουν μια ευθεία γωνία(όλες οι ημιευθείες έχουν κοινό αρχικό σημείο). Οι ημιευθείες αυτές που "κόβουν την ευθεία γωνία σε δύο παραπληρωματικές γωνίες είναι άπειρες.
 
=== Σύγχρονη εκδοχή συμβόλων της Ευκλείδειας γεωμετρίας ===
Στη σύγχρονη ορολογία οι γωνίες συνήθως έχουν ως μονάδα μέτρησης τις [[Μοίρα (γεωμετρία)|μοίρες]] ή τα [[Ακτίνιο (μονάδα μέτρησης)|ακτίνια]].Τα σύγχρονα εγχειρίδια ορίζουν τις γραμμές να είναι [[Ευθεία|ευθείες]](γραμμές άπειρου μήκους),[[Ημιευθεία|ημιευθείες]](γραμμές με άπειρο μήκος προς μια διεύθυνση) και [[Ευθύγραμμο τμήμα|ευθύγραμμα τμήματα]](γραμμές με πεπερασμένο μήκος). Ο Ευκλείδης δε χρησιμοποιούσε τον όρο ημιευθεία ως μια ευθεία που επεκτείνεται άπειρα προς μια διεύθυνση αλλά αντίθετα μιλούσε για "μια γραμμή που επεκτείνεται επαρκώς". Παρ' όλα αυτά έχει αναφερθεί και στον όρο "άπειρη ευθεία". Οι γραμμές ήταν οι ευθείες και οι καμπυλωμένες και όταν ήθελε να αναφερθεί σε ευθείες χρησιμοποιούσε τον όρο "ευθείες γραμμές".
 
 
== Ιστορική συμβολή ==
24

επεξεργασίες