Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Αρμονική συνάρτηση»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
== Παραδείγματα ==
Παραδείγματα αρμονικών συναρτήσενσυναρτήσεων με δύο μεταβλητές είναι:
* Το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος μιας ολομορφικήςολόμορφης συνάρτησης
* Η συνάρτηση <math>\,\! f(x,y)=e^{x} \sin y</math>, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του παραπάνω παράδειγματοςπαραδείγματος, καθώς <math>f(x,y)=\operatorname{Im}(e^{x+iy})</math> και να <math>e^{x+iy}</math> είναι ολομορφικήολόμορφη συνάρτηση.
* Η συνάρτηση
:: <math>\,\! f(x_1,x_2)=\ln (x_1^2+x_2^2)</math>
|-
| align="center" |<math>\frac{1}{r}</math>
|Μοναδιαίο σημειακό φορτίο στην αρχή των αξόνων
|Μονάδα σημείο δαπάνη προέλευσης
|-
| align="center" |<math>\frac{x}{r^3}</math>
|x-σκηνοθεσίαπροσανατολισμένο δίπολο στοστην καταγωγήςαρχή των αξόνων
|-
| align="center" |<math>-\ln(r^2-z^2)\,</math>
|ΓραμμήΕυθεία μοναδιαίαμοναδιαίας χρέωσηπυκνότητας πυκνότηταφορτίου σε ολόκληρο το z-άξονα
|-
| align="center" |<math>-\ln(r+z)\,</math>
|Ευθεία μοναδιαίας πυκνότητας φορτίου στον αρνητικό z-άξονα
|Γραμμή μοναδιαία χρέωση πυκνότητα στην αρνητική z-άξονα
|-
| align="center" |<math>\frac{x}{r^2-z^2}\,</math>
|Γραμμή τουΕυθεία x-σκηνοθεσίαπροσανατολισμένων δίπολαδιπόλων σε ολόκληρο τον άξονα ζz
|-
| align="center" |<math>\frac{x}{r(r+z)}\,</math>
|Γραμμή τουΕυθεία x-σκηνοθεσίαπροσανατολισμένων δίπολαδιπόλων σεστον αρνητικό άξονα ζz
|}
Αρμονικές συναρτήσεις που προκύπτουν στη φυσική προσδιορίζονται από τα ανώμαλα σημεία και τις συνοριακές συνθήκες (όπως οριακών συνθηκών Dirichlet ή Neumann οριακές συνθήκες). Στις περιοχές χωρίς όρια, προσθέτοντας το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος κάθε συνάρτησης παράγει μια αρμονική συνάρτηση με το ίδιο ανώμαλο σημείο, οπότε σε αυτή την περίπτωση, η αρμονική συνάρτηση δεν καθορίζεται από το ανώμαλο σημείο της, ωστόσο, μπορούμε να κάνουμε τη λύση μοναδική  σε φυσικές καταστάσεις, απαιτώντας ότι η λύση τείνει στο 0, τείνοντας στο άπειρο. Σε αυτή την περίπτωση, η μοναδικότητα προκύπτει από το θεώρημα του Liouville.
24

επεξεργασίες