Αρμονική συνάρτηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 8:
== Παραδείγματα ==
Παραδείγματα αρμονικών
* Το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος μιας
* Η συνάρτηση <math>\,\! f(x,y)=e^{x} \sin y</math>, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του παραπάνω
* Η συνάρτηση
:: <math>\,\! f(x_1,x_2)=\ln (x_1^2+x_2^2)</math>
Γραμμή 20:
|-
| align="center" |<math>\frac{1}{r}</math>
|Μοναδιαίο σημειακό φορτίο στην αρχή των αξόνων
|-
| align="center" |<math>\frac{x}{r^3}</math>
|x-
|-
| align="center" |<math>-\ln(r^2-z^2)\,</math>
|
|-
| align="center" |<math>-\ln(r+z)\,</math>
|Ευθεία μοναδιαίας πυκνότητας φορτίου στον αρνητικό z-άξονα
|-
| align="center" |<math>\frac{x}{r^2-z^2}\,</math>
|
|-
| align="center" |<math>\frac{x}{r(r+z)}\,</math>
|
|}
Αρμονικές συναρτήσεις που προκύπτουν στη φυσική προσδιορίζονται από τα ανώμαλα σημεία και τις συνοριακές συνθήκες (όπως οριακών συνθηκών Dirichlet ή Neumann οριακές συνθήκες). Στις περιοχές χωρίς όρια, προσθέτοντας το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος κάθε συνάρτησης παράγει μια αρμονική συνάρτηση με το ίδιο ανώμαλο σημείο, οπότε σε αυτή την περίπτωση, η αρμονική συνάρτηση δεν καθορίζεται από το ανώμαλο σημείο της, ωστόσο, μπορούμε να κάνουμε τη λύση μοναδική σε φυσικές καταστάσεις, απαιτώντας ότι η λύση τείνει στο 0, τείνοντας στο άπειρο. Σε αυτή την περίπτωση, η μοναδικότητα προκύπτει από το θεώρημα του Liouville.
|