Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Τύπος του Όιλερ»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
Στον Cotes διέφυγε ότι ένας μιγαδικός λογάριθμος μπορεί να έχει απείρως πολλές τιμές, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά πολλαπλάσια του {{Math|2iπ}} εξαιτίας της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Γύρω στο 1740 ο Euler έστρεψε την προσοχή του από τους λογαρίθμους στην εκθετική συνάρτηση και κατέληξε στον τύπο που χρησιμοποιείται σήμερα και έχει το όνομά του. Δημοσιεύτηκε το 1748 και προέκυψε από τη σύγκριση των αναπτυγμάτων σε σειρά της εκθετικής συνάρτησης και των τριγωνομετρικών εκφράσεων.
 
Κανένας από τους παραπάνω μαθηματικούς δεν είδε τη γεωμετρική ερμηνεία του τύπου. Η θεώρηση των μιγαδικών αριθμών ως σημεία του μιγαδικού επιπέδου περιγράφηκε 50 χρόνια αργότερα από τον Caspar Wessel.
 
==Εφαρμογές στη θεωρία μιγαδικών αριθμών==
Ο συγκεκριμένος τύπος μπορεί να ερμηνευτεί λέγοντας ότι η συνάρτηση {{Math|''e<sup>i&phi;</sup>''}} είναι ένας μοναδιαίος μιγαδικός αριθμός, δηλαδή διαγράφει το μοναδιαίο κύκλο καθώς το {{Math|''&phi;''}} παίρνει τιμές στους πραγματικούς αριθμούς. Εδώ το {{Math|''&phi;''}} είναι η γωνία που σχηματίζει η γραμμή που ενώνει την αρχή των αξόνων με ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου και του θετικού πραγματικού ημιάξονα, μετρημένη σε ακτίνια και αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού.
 
Η αρχική απόδειξη βασίζεται στα αναπτύγματα της εκθετικής συνάρτησης {{Math|''e<sup>z</sup>''}} σε σειρά Taylor (όπου {{Math|''z''}} είναι ένας μιγαδικός αριθμός) και των συναρτήσεων {{Math|sin ''x''}} και {{Math|cos ''x''}} για πραγματικούς αριθμούς {{Math|''x''}}.
 
==Αναφορές==
18

επεξεργασίες