Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

καμία σύνοψη επεξεργασίας
Ο συγκεκριμένος τύπος μπορεί να ερμηνευτεί λέγοντας ότι η συνάρτηση {{Math|''e<sup>i&phi;</sup>''}} είναι ένας μοναδιαίος μιγαδικός αριθμός, δηλαδή διαγράφει το μοναδιαίο κύκλο καθώς το {{Math|''&phi;''}} παίρνει τιμές στους πραγματικούς αριθμούς. Εδώ το {{Math|''&phi;''}} είναι η γωνία που σχηματίζει η γραμμή που ενώνει την αρχή των αξόνων με ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου και του θετικού πραγματικού ημιάξονα, μετρημένη σε ακτίνια και αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού.
 
Η αρχική απόδειξη βασίζεται στα αναπτύγματα της εκθετικής συνάρτησης {{Math|''e<sup>z</sup>''}} σε σειρά Taylor (όπου {{Math|''z''}} είναι ένας μιγαδικός αριθμός) και των συναρτήσεων {{Math|sin ''x''}} και {{Math|cos ''x''}} για πραγματικούς αριθμούς {{Math|''x''}}. Στην πραγματικότητα, η ίδια απόδειξη δείχνει ότι ο τύπος του Euler ισχύει ακόμα και για μιγαδικούς αριθμούς {{Math|''x''}}.
 
Ένα σημείο στο μιγαδικό επίπεδο μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν μιγαδικό αριθμό γραμμένο σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Ο τύπος του Euler μας παρέχει το μέσο για την μετατροπή των καρτεσιανών συντεταγμένων σε πολικές. Η πολική μορφή απλοποιεί τα μαθηματικά όταν χρησιμοποιείται στον πολλαπλασιασμό ή στις δυνάμεις μιγαδικών αριθμών. Κάθε μιγαδικός αριθμός {{Math|1 = ''z'' = ''x'' + ''iy''}}, και ο μιγαδικός συζυγής του, {{Math|1 = {{overline|''z''}} = ''x'' − ''iy''}}, μπορούν να γραφούν ως
 
:<math>
\begin{align}
&z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = r e^{i \phi} \\
&\bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = r e^{-i \phi}
\end{align}
</math>
 
όπου
:<math> x = \mathrm{Re}\{z\} \,</math> το πραγματικό μέρος
:<math> y = \mathrm{Im}\{z\} \,</math> το φανταστικό μέρος
:<math> r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> το μέτρο του ''z''
:<math>\phi = \arg z = \,</math> [[atan2]](''y'', ''x'') .
{{Math|''ϕ''}} είναι το όρισμα του ''z'', δηλαδή η γωνία μεταξύ του άξονα x και του διανύσματος ''z'' μετρημένης σε ακτίνια αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού και μπορεί να διαφέρει κατά ακέραια πολλαπλάσια του {{Math|2π}}. Πολλά μαθηματικά κείμενα γράφουν θ = tan<sup>−1</sup>(''y''/''x'') αντί για θ = atan2(''y'',''x''), αλλά η πρώτη εξίσωση απαίτει περαιτέρω προσδιορισμό όταν ''x''&nbsp;≤&nbsp;0. Αυτό συμβαίνει επειδή για πραγματικούς x, y που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν, οι γωνίες των διανυσμάτων (x,y) και (-x,-y) διαφέρουν μεταξύ τους κατά {{Math|π}} ακτίνια, αλλά έχουν την ίδια τιμή της tan(θ) = y/x.
 
Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Euler για να ορίσουμε το [[Λογάριθμος|λογάριθμο]] ενός μιγαδικού αριθμού. Για να το κάνουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τον ορισμό του λογαρίθμου (ως αντίστροφης συνάρτησης της εκθετικής) που λέει ότι
:<math>a = e^{\ln (a)} \ </math><p>και επιπλέον ότι</p>
:<math>e^a e^b = e^{a + b} \ </math>
που ισχύουν για κάθε μιγαδικό αριθμό ''a'' and ''b''. Συνεπώς κάποιος μπορεί να γράψει
 
:<math> z = |z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi} \ </math>
για κάθε ''z''&nbsp;≠&nbsp;0. Εφαρμόζοντας το λογάριθμο και στα δύο μέλη παίρνουμε
 
: <math>\ln z= \ln |z| + i \phi \ ,</math>
σχέση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός του μιγαδικού λογαρίθμου. Ο λαγάριθμος ενός μιγαδικού αριθμού είναι μία συνάρτηση που λαμβάνει πολλές τιμές, επειδή το {{Math|''ϕ''}} παίρνει και αυτό πολλές τιμές.
 
==Αναφορές==
18

επεξεργασίες