Τύπος του Όιλερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 29:
==Εφαρμογές στη θεωρία μιγαδικών αριθμών==
[[Image:Euler's formula.svg|thumb
|right]]
[[Image:Euler's Formula c.png|thumb|upright=1.5|Τρισδιάστατη απεικόνιση του τύπου του Euler. Βλέπε επίσης [[κυκλική πόλωση]].]]
Ο συγκεκριμένος τύπος μπορεί να ερμηνευτεί λέγοντας ότι η συνάρτηση {{Math|''e<sup>iφ</sup>''}} είναι ένας μοναδιαίος μιγαδικός αριθμός, δηλαδή διαγράφει το μοναδιαίο κύκλο καθώς το {{Math|''φ''}} παίρνει τιμές στους πραγματικούς αριθμούς. Εδώ το {{Math|''φ''}} είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία που ενώνει την αρχή των αξόνων με ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου και ο θετικός πραγματικός ημιάξονας, μετρημένη σε ακτίνια και αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού.
Γραμμή 47 ⟶ 50 :
:<math> r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> το μέτρο του ''z''
:<math>\phi = \arg z = \,</math> [[atan2]](''y'', ''x'') .
{{Math|''ϕ''}} είναι το όρισμα του ''z'', δηλαδή η γωνία μεταξύ του άξονα x και του διανύσματος ''z''
Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Euler για να ορίσουμε το [[Λογάριθμος|λογάριθμο]] ενός μιγαδικού αριθμού. Για να το κάνουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τον ορισμό του λογαρίθμου (ως αντίστροφης συνάρτησης της εκθετικής) που λέει ότι
:<math>a = e^{\ln (a)} \ </math>
και επιπλέον ότι :<math>e^a e^b = e^{a + b} \ </math>
που ισχύουν για κάθε μιγαδικό αριθμό {{Math|''a''}}
:<math> z = |z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi} \ </math>
για κάθε ''z'' ≠ 0. Εφαρμόζοντας
: <math>\ln z= \ln |z| + i \phi \ ,</math>
σχέση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός του μιγαδικού λογαρίθμου. Ο
==Αναφορές==
| |||