Τύπος του Όιλερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 63:
: <math>\ln z= \ln |z| + i \phi \ ,</math>
σχέση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός του μιγαδικού λογαρίθμου. Ο λoγάριθμος ενός μιγαδικού αριθμού είναι μία συνάρτηση που λαμβάνει πολλές τιμές, επειδή το {{Math|''ϕ''}} παίρνει και αυτό πολλές τιμές.
Τέλος από τον εκθετικό νόμο
: <math>(e^a)^k = e^{a k} \ ,</math>
που ισχύει για κάθε ακέραιο ''k'', μαζί με τον τύπο του Euler, μπορούν να προκύψουν πολλές [[τριγωνομετρικές ταυτότητες]] όπως επίσης και ο [[τύπος του de Moivre]].
==Σχέση με την τριγωνομετρία==
[[File:Sine Cosine Exponential qtl1.svg|thumb|Σχέση μεταξύ ημιτόνου, συνημιτόνου και εκθετικής συνάρτησης]]
Ο τύπος του Euler μάς παρέχει μια ισχυρή σχέση μεταξύ της [[Μαθηματική ανάλυση|ανάλυσης]] και της [[Τριγωνομετρία|τριγωνομετρίας]], ενώ προσδίδει μία ερμηνεία των συναρτήσεων του ημιτόνου και του συνημιτόνου ως σταθμισμένα αθροίσματα της εκθετικής συνάρτησης''':'''
:<math>
\begin{align}
\cos x & = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2} \\
\sin x & = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}
\end{align}
</math>
Οι παραπάνω δύο εξισώσεις μπορούν να εξαχθούν προσθέτοντας ή αφαιρώντας τους παρακάτω τύπους του Euler''':'''
: <math>
\begin{align}
e^{ix} & = \cos x + i \sin x \; \\
e^{-ix} & = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;
\end{align}
</math>
και λύνοντας είτε ως προς συνημίτονο είτε ως προς ημίτονο.
Οι τύποι αυτοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με μιγαδικά ορίσματα ''x''. Για παράδειγμα, έστω ''x'' = ''iy'', τότε έχουμε''':'''
:<math>
\begin{align}
\cos(iy) & = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) \\
\sin(iy) & = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = - {e^{y} - e^{-y} \over 2i} = i\sinh(y) \ .
\end{align}
</math>
Τα μιγαδικά εκθετικά μπορούν να απλοποιήσουν την τριγωνομετρία, διότι είναι πιο εύκλα στο χειρισμό από ότι οι ημιτονοειδείς τους συνιστώσες. Μία τεχνική είναι απλώς να μετατρέψουμε τις ημιτονοειδείς συναρτήσεις σε ισοδύναμες εκφράσεις σαν συνάρτηση εκθετικών. Μετά από πράξεις το αποτέλεσμα είναι ακόμα πραγματικός αριθμός. Για παράδειγμα''':'''
: <math>
\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \bigg[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \bigg] \
\end{align}
</math>
Μία άλλη τεχνική είναι να παραστήσουμε τις ημιτονοειδείς συναρτήσεις εκφρασμένες σαν το πραγματικό μέρος μιας μιγαδικής έκφρασης και να εκτελέσουμε τις πράξεις στη μιγαδική έκφραση. Για παράδειγμα ''':'''
: <math>
\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \}
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace{e^{ix} + e^{-ix}}_{2\cos(x)} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x) - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x] \
\end{align}</math>
Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται για αναδρομικό υπολογισμό του cos(''nx'') για ακέραιες τιμές του ''n'' και αυθαίρετο ''x'' (σε ακτίνια).
Βλέπε επίσης αριθμητική των στρεφόμενων διανυσμάτων.
==Αναφορές==
<references/>
| |||