Ευκλείδεια γεωμετρία: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Στις αρχές του 19ου αιώνα,ο [[Νικολά καρνό|Καρνό]] και ο [[Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους|Μέμπιους]] ανέπτυξαν συστηματικά τη χρήση των υπογεγραμμένων γωνιών και των ευθύγραμμων τμημάτων ως έναν τρόπο για την απλοποίηση και ενοποίηση των αποτελεσμάτων.<ref>Eves (1963),σελίδα 64</ref>

Η σημαντικότερη εξέλιξη του αιώνα στη γεωμετρία σημειώθηκε όταν,γύρω στο 1830,ο [[Janos Bolyai]] και ο [[Νικολάι Λομπατσέφσκι]] δημοσίευσαν χωριστά έργο στην [[Μη ευκλείδεια γεωμετρία|μη Ευκλείδεια γεωμετρία]] , στην οποία το αξίωμα των παραλλήλων δεν είναι έγκυρο.<ref>Ball,σελίδα 485</ref>Δεδομένου ότι η μη Ευκλείδεια γεωμετρία είναι αποδεδειγμένα σχετικά συνδεδεμένη με την Ευκλείδεια γεωμετρία,το αξίωμα των παραλλήλων δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα.

Κατά τον 19ο αιώνα,έγινε επίσης αντιληπτό ότι τα δέκα αξιώματα και κοινές έννοιες του Ευκλείδη δεν επαρκούν για να αποδείξουν όλα τα θεωρήματα που αναφέρονται στα Στοιχεία.Για παράδειγμα,ο Ευκλείδης υπέθεσε σιωπηρά ότι κάθε γραμμή περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία , αλλά η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα , και ως εκ τούτου θα πρέπει να αποτελεί από μόνης της ένα αξίωμα.Η πρώτη γεωμετρική απόδειξη στα Στοιχεία,όπως φαίνεται στο σχήμα παραπάνω,είναι ότι κάθε τμήμα γραμμής είναι μέρος ενός τριγώνου.Ο Ευκλείδης το κατασκεύασε με τον συνήθη τρόπο, σχεδιάζοντας κύκλους γύρω από τα δύο τελικά σημεία και παίρνοντας την τομή τους ως την τρίτη [[κορυφή]].Τα αξιώματά του,ωστόσο,δεν εγγυώνται ότι οι κύκλοι τέμνονται στην πραγματικότητα,επειδή δεν υποστηρίζουν τη γεωμετρική ιδιότητα της συνέχειας,η οποία από Καρτεσιανή άποψη είναι ισοδύναμη με την ιδιότητα της [[Πραγματικός αριθμός|πληρότητας]] των πραγματικών αριθμών.Ξεκινώντας από αυτό του [[Μόριτζ Πας|Μόριτς Πας]],το 1882,πολλά βελτιωμένα αξιωματικά συστήματα για γεωμετρία έχουν προταθεί,τα ποιο γνωστά από τα οποία είναι εκείνα των [[Ντάβιντ Χίλμπερτ|Χίλμπερτ]],<ref>Howard Eves, 1997 (1958). ''Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics''. Dover.</ref>[[George Birkhoff]]<ref>Birkhoff, G. D., 1932, "A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)," Επετηρίδα των Μαθηματικών 33 .</ref> και [[Τάρσκι]].<ref>Τάρσκι (1951)</ref>

Η έννοια της [[Απειροελάχιστη ποσότητα|απειροελάχιστης ποσότητας]] είχε προηγουμένως συζητηθεί εκτενώς από την [[Ελέα|σχολή Ελεατικήτης Ελέας]],αλλά κανείς δεν ήταν σε θέση να τους βάλει σε μια σταθερή λογική βάση με τα παράδοξα όπως αυτό του [[Ζήνων ο Ελεάτης|Ζήνων]] να εμφανίζονται χωρίς μια παγκόσμια αποδεκτή λύση.Ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε τη [[μέθοδο της εξάντλησης]] αντί γι αυτήν της απειροελάχιστης απόστασης.<ref>Ball.σελ. 31</ref>

Αργότερα σχολιαστές όπως ο [[Πρόκλος]](410–485 μ.Χ) αντιμετώπισαν πολλά ερωτήματα σχετικά με το άπειρο όπως θέματα που απαιτούσαν απόδειξη και,π.χ. ο Πρόκλος ισχυρίστηκε ότι μπορεί να αποδείξει την άπειρη διαιρετότητα μιας γραμμής,βασιζόμενος σε μια εις άτοπον απαγωγή στην οποία εξέτασε τις περιπτώσεις να αποτελείται ακόμη και από μονό αριθμό σημείων.<ref>Heath,σελ.268</ref>

Στις αρχές του 20ου20ού αιώνα οι  [[Otto stolz|Ότο Στόλτς]], [[Paul du Bois-Reymond]], [[Τζουζέπε Βερονέζε]] και άλλοι παρήγαγαν αμφιλεγόμενο έργο σε μη αρχιμήδεια μοντέλα της ευκλείδειας γεωμετρίας,στα οποία η απόσταση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να είναι άπειρη ή απειροελάχιστη,με την έννοια [[Ισαάκ Νεύτων|Νεύτων]]-[[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς|Λάιμπνιτς]].<ref>Giuseppe Veronese, On Non-Archimedean Geometry, 1908. English translation in Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of Continua, ed. Philip Ehrlich, Kluwer, 1994.</ref>Πενήντα χρόνια αργότερα,ο [[Abraham robinson|Άμπραχαμ Ρόμπινσον]] συνέφερε με μια αυστηρή λογική θεμελίωση για το έργο του Veronese.<ref>Robinson, Abraham (1966). Non-standard analysis.</ref>

Ένας λόγος που οι αρχαίοι αντιμετώπισαν το αξίωμα των παραλλήλων ως λιγότερο βέβαιο σε σχέση με άλλα είναι ότι η φυσική του επαλήθευση θα απαιτούσε από εμάς να θεωρήσουμε δυο γραμμές για να ελέγξουμε ότι δεν τέμνονται ποτέ,ακόμη και σε κάποιο πολύ μακρινό σημείο,και ο έλεγχος αυτός θα μπορούσε ενδεχομένως να πάρει ένα άπειρο χρονικά διάστημα.<ref>Για τον ισχυρισμό ότι αυτός ήταν ο βασικός λόγος που οι αρχαίοι θεωρούσαν το αξίωμα των παραλλήλων λιγότερο προφανές σε σχέση με τα υπόλοιπα,βλέπετε Nagel and Newman 1958,σελ.9</ref>

Η σύγχρονη διατύπωση της [[Μαθηματική επαγωγή|απόδειξης με επαγωγή]] δεν αναπτύχθηκε μέχρι τον 17ο αιώνα,αλλά κάποιοι μετέπειτα σχολιαστές θεώρησαν ότι βρίσκει εφαρμογή σε κάποιες αποδείξεις του Ευκλείδη,π.χ. η απόδειξη για την απειρία των πρώτων αριθμών.<ref>Cajori (1918),σελ.197</ref>

Η τοποθέτηση της Ευκλείδειας γεωμετρίας σε μια σταθερή αξιωματική βάση ήταν μια ενασχόληση των μαθηματικών για αιώνες.Ο ρόλος των θεμελιωδών εννοιών,ή αλλιώς των απροσδιόριστων εννοιών εξελίχθηκε ξεκάθαρα από τον  [[Alessandro Padoa|Αλεσάντρο Παντοα]] από την αντιπροσωπεία του Peano στην σύσκεψη του 1900 στο Παρίσι.<ref>Μια λεπτομερής συζήτηση μπορεί να βρεθεί στο James T. Smith (2000)."Chapter 2: Foundations". [https://books.google.com/books?id=mWpWplOVQ6MC&pg=RA1-PA19 ''Methods of geometry'']. Wiley. pp. 19 ''ff''.[[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-471-25183-6|0-471-25183-6]].</ref><ref>Société française de philosophie (1900). [https://books.google.com/books?id=4aoLAAAAIAAJ&pg=PA592 ''Revue de métaphysique et de morale, Volume 8'']. Hachette.σελ.592</ref><blockquote>...όταν ξεκινήσουμε να διατυπώνουμε τη θεωρία,μπορούμε να φανταστούμε ότι τα ακαθόριστα σύμβολα είναι εντελώς άνευ νοήματος και ότι οι προτάσεις χωρίς απόδειξη είναι απλά όροι που επιβάλλονται επί των ακαθόριστων συμβόλων.</blockquote><blockquote>Έπειτα το σύστημα των ιδεών που έχουμε αρχικά επιλέξει είναι απλά μια ερμηνεία των ακαθόριστων συμβόλων,αλλά αυτή η ερμηνεία μπορεί να αγνοηθεί από τον αναγνώστη,ο ποίος είναι ελεύθερος να την αντικαταστήσει στο μυαλό του με μια άλλη ερμηνεία...η οποία πληροί τις προϋποθέσεις...</blockquote><blockquote>Έτσι,τα λογικά ερωτήματα γίνονται εντελώς ανεξάρτητα από τα εμπειρικά ή τα ψυχολογικά ερωτήματα...</blockquote><blockquote>Το σύστημα των ακαθόριστων συμβόλων μπορεί τότε να θεωρηθεί ως η αφαίρεση που λαμβάνεται από τις εξειδικευμένες θεωρίες που προκύπτουν όταν...το σύστημα των απροσδιόριστων συμβόλων αντικαθίσταται διαδοχικά από κάθε μία από τις ερμηνείες...</blockquote><blockquote>— Padoa, ''Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive qulelconque''</blockquote>Δηλαδή τα μαθηματικά είναι ανεξάρτητη γνώση μέσα σε ένα ιεραρχικό πλαίσιο.Όπως είπε ο  [[Μπέρτραντ Ράσελ]].<ref>Bertrand Russell (2000). "Mathematics and the metaphysicians". In James Roy Newman. [https://books.google.com/books?id=_b2ShqRj8YMC&pg=PA1577 ''The world of mathematics''] '''3''' (Ανατύπωση από Simon και Schuster 1956 ed.). Courier Dover Publications. σελ 1577. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-486-41151-6|0-486-41151-6]].</ref><blockquote>Αν η υπόθεσή μας είναι για το οτιδήποτε, και όχι για ένα ή περισσότερα συγκεκριμένα πράγματα,τότε τα συμπεράσματά μας αποτελούν μαθηματικά.'Ετσι,τα μαθηματικά μπορούν να οριστούν ως το αντικείμενο στο οποίο δε ξέρουμε ποτέ για τι πράγμα μιλάμε,ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια.</blockquote><blockquote>—Μπέρτραντ Ράσελ ,''Τα Μαθηματικά και οι μεταφυσικοί''</blockquote>Τέτοιες θεμελιώδεις προσεγγίσεις κυμαίνονται μεταξύ του θεμελιωτισμού και του [[Φορμαλισμός|φορμαλισμού]].