Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Αρμονική συνάρτηση»

μ
(Προστέθηκαν κάποιες ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων)
Κάποιες σημαντικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων μπορούν να εξαχθούν από την εξίσωση του Λαπλάς.
 
=== '''Θεώρημα Κανονικότητας για αρμονικές συναρτήσεις''' ===
Οι αρμονικές συναρτήσεις είναι απείρως διαφορίσιμες. Για την ακρίβεια, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις αναλυτικές.
 
=== '''Αρχή του Μεγίστου''' ===
Οι αρμονικές συναρτήσεις ικανοποιούν την παρακάτω αρχή μεγίστου: εάν Κ είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του U, τότε η συνάρτηση f, περιορισμένη στο Κ, παίρνει τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της στο σύνορο του Κ. Εάν to U είναι συνεκτικό, τότε η f δεν μπορεί να έχει τοπικά ακρότατα, εκτός από την εξαιρετική περίπτωση όπου η f είναι σταθερή.
 
=== '''Ιδιότητα της Μέσης Τιμής''' ===
Εάν ''B''(''x'', ''r'') είναι μια μπάλα με κέντρο το ''x'' και ακτίνα ''r'' , η οποία περιέχεται εξ'ολοκλήρου μέσα σε ένα ανοιχτό σύνολο Ω ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup> , τότε η τιμή ''u''(''x'') μιας αρμονικής συνάρτησης ''u'': Ω → '''R''' στο κέντρο της μπάλας προκύπτει από το μέσο όρο των τιμών της ''u'' στην επιφάνεια της μπάλας. Αυτή η μέση τιμή ισούται επίσης με τη μέση τιμή της ''u'' στο εσωτερικό της μπάλας. Με άλλα λόγια
 
64.642

επεξεργασίες