Ευκλείδεια γεωμετρία: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Όπως φαίνεται από την ετυμολογία της λέξης , ένας από τους πρώτους λόγους για το ενδιαφέρον προς την γεωμετρία ήταν η [[χωρομέτρηση]]<ref>Ball , σελίδα 5</ref> (μέτρηση του χώρου),και ορισμένα πρακτικά αποτελέσματα από την Ευκλείδεια γεωμετρία ,όπως η κυριότητα της ορθής γωνίας ενός 3-4-5 τριγώνου , χρησιμοποιούνταν αρκετό καιρό πριν αποδειχθούν και επίσημα.<ref>Eves , τόμος 1,σελίδα 5, Mlodinow σελίδα 7</ref>Οι θεμελιώδεις τύποι των μετρήσεων στην Ευκλείδεια γεωμετρία είναι αποστάσεις και γωνίες.Αυτές οι δύο ποσότητες μπορούν να υπολογιστούν κατευθείαν από έναν τοπογράφο.Ιστορικά οι αποστάσεις μετριόταν συνήθως με αλυσίδες όπως για παράδειγμα οι λεγόμενες [[αλυσίδεςGunter's Γκάντερchains]], ενώ για την μέτρηση των γωνιών χρησιμοποιούνταν κύκλοι και αργότερα ο [[θεοδόλιχος]].

Χρησιμοποιείται επίσης και στον σχεδιασμό [[Οριγκάμι|Origami.]]. Κάποια [[κλασσικά προβλήματα γεωμετρίας]] είναι αδύνατο να λυθούν με την χρήση [[Κανόνας (μαθηματικά)|χάρακα]] και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]] αλλά μπορούν να λυθούν με την μέθοδο [[Οριγκάμι|Origami]].<ref>Tom Hull , "Origami and Geometric Constructions".</ref>

Ο διφορούμενος χαρακτήρας των αξιωμάτων όπως διατυπώθηκαν αρχικά από τον Ευκλείδη δημιούργησε αρκετές διαφωνίες και υπαινιγμούς σχετικά με την δομή του χώρου, όπως αν είναι άπειρος ή όχι <ref>Heath , σελίδα 200</ref>και ποια είναι η [[Τοπολογικός χώρος|τοπολογία]] του.Στην σύγχρονη εποχή οι πιο αυστηρές αναδιατυπώσεις του συστήματος<ref>π.χ. Tarski (1951)</ref> έχουν ως στόχο έναν καλύτερο διαχωρισμό αυτών των ζητημάτων.Ερμηνεύοντας τα αξιώματα του Ευκλείδη με μία πιο μοντέρνα και σύγχρονη προσέγγιση , τα αξιώματα 1-4 έχουν μία συνέπεια ως προς τον άπειρο ή πεπερασμένο χώρο(όπως στην [[ελλειπτική γεωμετρία]]).Επίσης και τα 5 αξιώματα έχουν μία συνέπεια ως προς την ποικιλία των τοπολογιών(για παράδειγμα ένα επίπεδο, ένας κύλινδρος, ή έναςένα [[τόροςtorus]] για την δισδιάστατη Ευκλείδεια γεωμετρία).