Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Αρμονική συνάρτηση»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
<math>u(x) = u*\chi_r(x)\;</math>, όταν ''B''(''x'', ''r'') ⊂ Ω.
 
=== '''Ανισότητα του Χαρνακ''' ===
Έστω u μια μη αρνητική αρμονική συνάρτηση σε ένα φραγμένο πεδίο Ω. Τότε για κάθε συνεκτικό σύνολο
 
<math>V \subset \overline{V} \subset \Omega,</math> ισχύει :
 
<math>\sup_V u \le C \inf_V u</math> ,όπου C είναι μια σταθερά που εξαρτάται μόνο από τα V και Ω.
 
=== Απαλοιφή/Εξάλειψη των Ανωμαλιών ===
Η παρακάτω αρχή της εξάλειψης των ανώμαλων σημείων ισχύει για τις αρμονικές συναρτήσεις.
 
Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο <math>\Omega\backslash\{x_0\}</math> του '''R'''<sup>n</sup> , η οποία παρουσιάζει μικρότερη ανωμαλία στο <math>x_0</math> από ότι η θεμελιώδης λύση, δηλαδή
 
<math>f(x)=o\left( \vert x-x_0 \vert^{2-n}\right),\qquad\text{as }x\to x_0,</math>
 
τότε η f επεκτείνεται σε μια αρμονική συνάρτηση στο Ω. (Σύγκριση με το θεώρημα Riemann για συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής).
 
== Properties of harmonic functions ==
holds for some constant ''C'' that depends only on ''V'' and Ω.
 
=== Removal of singularities ===
The following principle of removal of singularities holds for harmonic functions. If ''f'' is a harmonic function defined on a dotted open subset <math> \scriptstyle\Omega\,\setminus\,\{x_0\}</math> of '''R'''<sup>''n''</sup> , which is less singular at ''x''<sub>0</sub> than the fundamental solution, that is
: <math>f(x)=o\left( \vert x-x_0 \vert^{2-n}\right),\qquad\text{as }x\to x_0,</math>
24

επεξεργασίες