Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Αρμονική συνάρτηση»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
=== Θεώρημα Κανονικότητας για αρμονικές συναρτήσεις ===
Οι αρμονικές συναρτήσεις είναι απείρως [[Διαφόριση|διαφορίσιμες]]. Για την ακρίβεια, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι [[Αναλυτική συνάρτηση|συναρτήσεις αναλυτικές]].
 
=== Αρχή του Μεγίστου ===
Οι αρμονικές συναρτήσεις ικανοποιούν την παρακάτω [http://users.auth.gr/natreas/Efarmosmena/Kef-6.pdf αρχή μεγίστου]: εάν Κ είναι ένα [[Συμπαγής χώρος|συμπαγές]] υποσύνολο του U, τότε η συνάρτηση f, περιορισμένη στο Κ, παίρνει τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της στο σύνορο του Κ. Εάν to U είναι συνεκτικό, τότε η f δεν μπορεί να έχει τοπικά ακρότατα, εκτός από την εξαιρετική περίπτωση όπου η f είναι σταθερή.
 
=== Ιδιότητα της Μέσης Τιμής ===
Εάν ''B''(''x'', ''r'') είναι μια μπάλα με κέντρο το ''x'' και ακτίνα ''r'' , η οποία περιέχεται εξ'ολοκλήρου μέσα σε ένα ανοιχτό σύνολο Ω ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup> , τότε η τιμή ''u''(''x'') μιας αρμονικής συνάρτησης ''u'': Ω → '''R''' στο κέντρο της μπάλας προκύπτει από το [[Μέσος όρος|μέσο όρο]] των τιμών της ''u'' στην επιφάνεια της μπάλας. Αυτή η μέση τιμή ισούται επίσης με τη μέση τιμή της ''u'' στο εσωτερικό της μπάλας. Με άλλα λόγια
 
<math> u(x) = \frac{1}{n \omega_n r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} u\, d\sigma = \frac{1}{\omega_n r^n}\int_{B (x,r)} u\, dV</math>,
 
όπου ω<sub>''n''</sub> είναι ο όγκος της μοναδιαίας [[Σφαίρα|σφαίρας]] σε n διαστάσεις και σ είναι το n-1 διάστατο επιφανειακό μέτρο.
 
Αντίστροφα, όλες οι τοπικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που ικανοποιούν την ιδιότητα της μέσης τιμής, είναι και απείρως παραγωγίσιμες και αρμονικές.
 
=== '''Ανισότητα του Χαρνακ''' ===
Έστω u μια μη -αρνητική αρμονική συνάρτηση σε ένα [[Φραγμένο σύνολο|φραγμένο]] πεδίο Ω. Τότε για κάθε συνεκτικό σύνολο
 
<math>V \subset \overline{V} \subset \Omega,</math> ισχύει :
24

επεξεργασίες