Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Αρμονική συνάρτηση»

γενικεύσεις στις αρμονικές συναρτήσεις
(γενικεύσεις στις αρμονικές συναρτήσεις)
 
=== Ασθενής αρμονική συνάρτηση ===
Μια συνάρτηση (ή γενικότερα μια κατανομή) είναι ασθενώς αρμονική εάν ικανοποιεί ασθενώς την εξίσωση του Λαπλάς <math>\Delta f = 0\,</math>. Μια ασθενώς αρμονική συνάρτηση συμπίπτει σχεδόν εξ'ολοκλήρου με μια ισχυρά αρμονική συνάρτηση, και είναι συγκεκριμένα, λεία. Μια ασθενώς αρμονική κατανομή είναι ακριβώς η κατανομή εκείνη που σχετίζεται με μια ισχυρώς αρμονική συνάρτηση, είναι όμως επιπλέον και λεία. Αυτό είναι το λήμμα του Γουέιλ.
 
Υπάρχουν κι άλλες ασθενής φόρμουλες της εξίσωσης Λαπλάς που είναι συχνά χρήσιμες. Μια από αυτές είναι η αρχή του Ντιριχλετ. Η αρχή αυτή αναπαριστά τις αρμονικές συναρτήσεις ''H''<sup>1</sup>(Ω) στο χώρο του Σομπολεφ, σαν ελαχιστοποιητές του ολοκληρώματος της ενέργειας του Ντιριχλετ
== Generalizations ==
 
: <math>J(u):=\int_\Omega |\nabla u|^2\, dx</math>
=== Weakly harmonic function ===
A function (or, more generally, a [[:en:Distribution_(mathematics)|distribution]]) is [[:en:Weakly_harmonic|weakly harmonic]] if it satisfies Laplace's equation
: <math>\Delta f = 0\,</math>
in a [[:en:Weak_derivative|weak]] sense (or, equivalently, in the sense of distributions). A weakly harmonic function coincides almost everywhere with a strongly harmonic function, and is in particular smooth. A weakly harmonic distribution is precisely the distribution associated to a strongly harmonic function, and so also is smooth. This is [[:en:Weyl's_lemma_(Laplace_equation)|Weyl's lemma]].
 
withσυναρτήσει respectτοπικών to local variationsμεταβολών, thatδηλαδή is,όλες allτις functionsσυναρτήσεις <math>u\in H^1(\Omega)</math> suchόπως that ''J''(''u'') ≤ ''J''(''u'' + ''v'') holdsισχύει forγια allόλες τις <math>v\in C^\infty_c(\Omega),</math> orή equivalentlyισοδύναμα, forγια όλες allτις <math>v\in H^1_0(\Omega).</math>
There are other [[:en:Weak_formulation|weak formulations]] of Laplace's equation that are often useful. One of which is [[:en:Dirichlet's_principle|Dirichlet's principle]], representing harmonic functions in the [[:en:Sobolev_space|Sobolev space]] ''H''<sup>1</sup>(Ω) as the minimizers of the [[:en:Dirichlet_energy|Dirichlet energy]] integral
: <math>J(u):=\int_\Omega |\nabla u|^2\, dx</math>
with respect to local variations, that is, all functions <math>u\in H^1(\Omega)</math> such that ''J''(''u'') ≤ ''J''(''u'' + ''v'') holds for all <math>v\in C^\infty_c(\Omega),</math> or equivalently, for all <math>v\in H^1_0(\Omega).</math>
 
=== Αρμονικές συναρτήσεις σε πολλαπλότητες ===
=== Harmonic functions on manifolds ===
Οι αρμονικές συναρτήσεις είναι δυνατόν να οριστούν σε μια τυχαία πολλαπλότητα Ριμαν, χρησιμοποιώντας τον τελεστή Λαπλας-Μπελτραμι Δ. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο, μια συνάρτηση ονομάζεται αρμονική αν και μόνον εάν <math>\ \Delta f = 0.</math>
Harmonic functions can be defined on an arbitrary [[:en:Riemannian_manifold|Riemannian manifold]], using the [[:en:Laplace–Beltrami_operator|Laplace–Beltrami operator]] Δ. In this context, a function is called ''harmonic'' if
: <math>\ \Delta f = 0.</math>
Many of the properties of harmonic functions on domains in Euclidean space carry over to this more general setting, including the mean value theorem (over [[:en:Geodesic|geodesic]] balls), the maximum principle, and the Harnack inequality. With the exception of the mean value theorem, these are easy consequences of the corresponding results for general linear [[:en:Elliptic_partial_differential_equation|elliptic partial differential equations]] of the second order.
 
Πολλές από τις ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων σε πεδία στον Ευκλείδιο χώρο, μεταφέρονται σε αυτό το πιο γενικό περιβάλλον, συμπεριλαμβανομένων του θεωρήματος μέσου όρου (πάνω σε γεοδεσιακές μπάλες), της αρχής του μεγίστου, και της ανισότητας του Χαρνακ. Με μόνη εξαίρεση το θεώρημα του μέσου όρου, αυτές είναι όλες συνέπειες των αντίστοιχων αποτελεσμάτων για γενικές γραμμικές ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, δεύτερης τάξης.
=== Subharmonic functions ===
 
A ''C''<sup>2</sup> function that satisfies Δ''f'' ≥ 0 is called subharmonic. This condition guarantees that the maximum principle will hold, although other properties of harmonic functions may fail. More generally, a function is subharmonic if and only if, in the interior of any ball in its domain, its graph lies below that of the harmonic function interpolating its boundary values on the ball.
=== Υφαρμονικές συναρτήσεις ===
Μια ''C''<sup>2</sup> συνάρτηση για την οποία ισχύει Δ''f'' ≥ 0, ονομάζεται υφαρμονική. Η συνθήκη αυτή εγγυάται ότι η αρχή του μεγίστου ισχύει, παρ' όλο που άλλες ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων υπάρχει περίπτωση να μην ισχύουν. Γενικότερα, μια συνάρτηση είναι υφαρμονική αν και μονο αν, στο εσωτερικό κάθε μπάλας στο πεδίο ορισμού της, το γράφημά της βρίσκεται κάτω από το γράφημα της αρμονικής συνάρτησης που παρεμβάλλεται μεταξύ των συνοριακών τιμών της μπάλας.
 
=== Αρμονικές μορφές ===
Μια γενίκευση πάνω στη μελέτη των αρμονικών συναρτήσεων είναι η μελέτη των αρμονικών μορφών σε πολλαπλότητες Ριμαν, η οποία σχετίζεται με τη μελέτη της ομολογίας. Ακόμη είναι πιθανό να οριστούν αρμονικές διανυσματικές συναρτήσεις, ή αρμονικοί χάρτες δυο πολλαπλοτήτων Ριμαν, που είναι κρίσιμα σημεία μιας γενικευμένης συναρτησιακής ενέργειας του Ντιριχλετ. Αυτό το είδος αρμονικών χαρτών εμφανίζεται στη θεωρία των ελαχίστων επιφανειών. Για παράδειγμα, μια καμπύλη, δηλαδή μια απεικόνιση από ένα διάστημα στο '''R''' σε μια πολλαπλότητα Ρίμαν, θα είναι αρμονικός χάρτης αν και μόνο αν είναι γεοδεσιακή.
 
=== Harmonic forms ===
24

επεξεργασίες