Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Αρμονική συνάρτηση»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
(γενικεύσεις στις αρμονικές συναρτήσεις)
 
=== Υφαρμονικές συναρτήσεις ===
Μια ''C''<sup>2</sup> συνάρτηση για την οποία ισχύει Δ''f'' ≥ 0, ονομάζεται υφαρμονική. Η συνθήκη αυτή εγγυάται ότι η αρχή του μεγίστου ισχύει, παρ' όλο που άλλες ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων υπάρχει περίπτωση να μην ισχύουν. Γενικότερα, μια συνάρτηση είναι υφαρμονική αν και μονομόνο αν, στο εσωτερικό κάθε μπάλας στο πεδίο ορισμού της, το γράφημά της βρίσκεται κάτω από το γράφημα της αρμονικής συνάρτησης που παρεμβάλλεται μεταξύ των συνοριακών τιμών της μπάλας.
 
=== Αρμονικές μορφές ===
Μια γενίκευση πάνω στη μελέτη των αρμονικών συναρτήσεων είναι η μελέτη των αρμονικών μορφών σε πολλαπλότητες Ριμαν, η οποία σχετίζεται με τη μελέτη της ομολογίας. Ακόμη είναι πιθανό να οριστούν αρμονικές διανυσματικές συναρτήσεις, ή αρμονικοί χάρτες δυο πολλαπλοτήτων Ριμαν, που είναι κρίσιμα σημεία μιας γενικευμένης συναρτησιακής ενέργειας του Ντιριχλετ. Αυτό το είδος αρμονικών χαρτών εμφανίζεται στη θεωρία των ελαχίστων επιφανειών. Για παράδειγμα, μια καμπύλη, δηλαδή μια απεικόνιση από ένα διάστημα στο '''R''' σε μια πολλαπλότητα Ρίμαν, θα είναι αρμονικός χάρτης αν και μόνο αν είναι γεοδεσιακή.
 
=== Αρμονικές απεικονίσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων ===
=== Harmonic forms ===
<blockquote>Εάν Μ και Ν είναι δυο πολλαπλότητες Ριμαν, τότε μια αρμονική απεικόνιση u: M <math>\rightarrow</math> N ορίζεται να είναι ένα κρίσιμο σημείο της ενέργειας Ντιριχλετ</blockquote><blockquote><math>D[u] = \frac{1}{2}\int_M \|du\|^2\,d\operatorname{Vol}</math></blockquote><blockquote>όπου {{nowrap|''du'' : ''TM'' &rarr; ''TN''}} είναι το διαφορικό της u, και η νόρμα είναι αυτή που συμπεριλαμβάνεται από τη μετρική στο Μ και αυτή στο Ν στο εξωτερικό γινόμενο ''T''*''M'' ⊗ ''u''<sup>&#x2212;1</sup> ''TN.''</blockquote>Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις αρμονικών απεικονίσεων μεταξύ πολλαπλοτήτων αποτελούν οι ελάχιστες επιφάνειες, οι οποίες είναι ακριβώς εκείνες οι αρμονικές ενθέσεις μιας επιφάνειας στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Γενικότερα,οι ελάχιστες υποπολλαπλότητες είναι αρμονικές ενθέσεις μιας πολλαπλότητας στην άλλη. Οι αρμονικές συντεταγμένες είναι αρμονικοί διφεομορφισμοί από μια πολλαπλότητα σε ένα ανοιχτό υποσύνολο της ίδιας διάστασης στον Ευκλείδειο χώρο.
One generalization of the study of harmonic functions is the study of [[:en:Harmonic_form|harmonic forms]] on [[:en:Riemannian_manifold|Riemannian manifolds]], and it is related to the study of [[:en:Cohomology|cohomology]]. Also, it is possible to define harmonic vector-valued functions, or harmonic maps of two Riemannian manifolds, which are critical points of a generalized Dirichlet energy functional (this includes harmonic functions as a special case, a result known as [[:en:Dirichlet_principle|Dirichlet principle]]). This kind of harmonic maps appear in the theory of minimal surfaces. For example, a curve, that is, a map from an interval in '''R''' to a Riemannian manifold, is a harmonic map if and only if it is a [[:en:Geodesic|geodesic]].
 
=== Harmonic maps between manifolds ===
24

επεξεργασίες