Αρμονική συνάρτηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
γενικεύσεις στις αρμονικές συναρτήσεις |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 126:
=== Υφαρμονικές συναρτήσεις ===
Μια ''C''<sup>2</sup> συνάρτηση για την οποία ισχύει Δ''f'' ≥ 0, ονομάζεται υφαρμονική. Η συνθήκη αυτή εγγυάται ότι η αρχή του μεγίστου ισχύει, παρ' όλο που άλλες ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων υπάρχει περίπτωση να μην ισχύουν. Γενικότερα, μια συνάρτηση είναι υφαρμονική αν και
=== Αρμονικές μορφές ===
Μια γενίκευση πάνω στη μελέτη των αρμονικών συναρτήσεων είναι η μελέτη των αρμονικών μορφών σε πολλαπλότητες Ριμαν, η οποία σχετίζεται με τη μελέτη της ομολογίας. Ακόμη είναι πιθανό να οριστούν αρμονικές διανυσματικές συναρτήσεις, ή αρμονικοί χάρτες δυο πολλαπλοτήτων Ριμαν, που είναι κρίσιμα σημεία μιας γενικευμένης συναρτησιακής ενέργειας του Ντιριχλετ. Αυτό το είδος αρμονικών χαρτών εμφανίζεται στη θεωρία των ελαχίστων επιφανειών. Για παράδειγμα, μια καμπύλη, δηλαδή μια απεικόνιση από ένα διάστημα στο '''R''' σε μια πολλαπλότητα Ρίμαν, θα είναι αρμονικός χάρτης αν και μόνο αν είναι γεοδεσιακή.
=== Αρμονικές απεικονίσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων ===
<blockquote>Εάν Μ και Ν είναι δυο πολλαπλότητες Ριμαν, τότε μια αρμονική απεικόνιση u: M <math>\rightarrow</math> N ορίζεται να είναι ένα κρίσιμο σημείο της ενέργειας Ντιριχλετ</blockquote><blockquote><math>D[u] = \frac{1}{2}\int_M \|du\|^2\,d\operatorname{Vol}</math></blockquote><blockquote>όπου {{nowrap|''du'' : ''TM'' → ''TN''}} είναι το διαφορικό της u, και η νόρμα είναι αυτή που συμπεριλαμβάνεται από τη μετρική στο Μ και αυτή στο Ν στο εξωτερικό γινόμενο ''T''*''M'' ⊗ ''u''<sup>−1</sup> ''TN.''</blockquote>Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις αρμονικών απεικονίσεων μεταξύ πολλαπλοτήτων αποτελούν οι ελάχιστες επιφάνειες, οι οποίες είναι ακριβώς εκείνες οι αρμονικές ενθέσεις μιας επιφάνειας στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Γενικότερα,οι ελάχιστες υποπολλαπλότητες είναι αρμονικές ενθέσεις μιας πολλαπλότητας στην άλλη. Οι αρμονικές συντεταγμένες είναι αρμονικοί διφεομορφισμοί από μια πολλαπλότητα σε ένα ανοιχτό υποσύνολο της ίδιας διάστασης στον Ευκλείδειο χώρο.
=== Harmonic maps between manifolds ===
| |||