Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
=== Αξιωματικές διατυπώσεις ===
<blockquote>Η Γεωμετρία είναι η επιστήμη της ορθής συλλογιστικής σε ανακριβή στοιχεία</blockquote><blockquote>— George Polyá, ''How to Solve It'', p. 208<ref>Edwin E. Moise (1990). [https://books.google.com/books?cd=1&id=3UjvAAAAMAAJ&dq=isbn%3A9780201508673&q=Birkhoff#search_anchor ''Elementary geometry from an advanced standpoint''] (3rd ed.). Addison–Wesley. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-201-50867-2|0-201-50867-2]].</ref></blockquote>
* Αξίωμα του Ευκλείδη:Στην διατριβή του στο Trinity College,Cambridge, ο Bertrand Russell συνόψισε την αλλαγή του ρόλου της Ευκλείδειας γεωμετρίας στο μυαλό των φιλοσόφων μέχρι εκείνη την στιγμή.<ref>Bertrand Russell (1897). "Introduction". [https://books.google.com/books?id=NecGAAAAYAAJ&pg=PA1 ''An essay on the foundations of geometry'']. Cambridge University Press.</ref>Ήταν μια σύγκρουση μεταξύ μιας ορισμένης γνώσης,ανεξάρτητης από πειράματα,και εμπειρισμού που απαιτούσε την είσοδο πειραμάτων.Το θέμα αυτό έγινε σαφές ,αφού ανακαλύφθηκε ότι το [[αξίωμα των παραλλήλων]] δεν ήταν απαραίτητα έγκυρο και η δυνατότητα εφαρμογής του ήταν ένα εμπειρικό θέμα,να αποφασιστεί αν η εφαρμοστέα γεωμετρία ήταν Ευκλείδεια ή [[Μη ευκλείδεια γεωμετρία|μη Ευκλείδεια]].
* [[Αξιώματα Χίλμπερτ|Αξίωμα του Χίλμπερτ]]:Τα αξιώματα του Hilbert είχαν ως στόχο τον εντοπισμό ενός απλού και πλήρους συνόλου από ανεξάρτητα αξιώματα,από τα οποία θα μπορούσαν να συνταχθούν τα πιο σημαντικά γεωμετρικά θεωρήματα.Οι εκκρεμείς στόχοι ήταν να κάνουν την Ευκλείδεια γεωμετρία αυστηρή(αποφεύγοντας κρυμμένες υποθέσεις) και να καταστήσουν σαφείς τις επιπτώσεις του αξιώματος των παραλλήλων.
 
* [[Αξιωματα Birkhoff|Αξιώματα του Μπίρκοφ]]:Ο Birkhoff πρότεινε τέσσερα αξιώματα για Ευκλείδεια γεωμετρία που μπορούν να επιβεβαιωθούν πειραματικά με την κλίμακα και το μοιρογνωμόνιο.Αυτό το σύστημα στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στις ιδιότητες των [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]].<ref>George David Birkhoff, Ralph Beatley (1999). "Chapter 2: The five fundamental principles". [https://books.google.com/books?id=TB6xYdomdjQC&pg=PA38 ''Basic Geometry''] (3rd ed.). AMS Bookstore. pp. 38 ''ff''. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-8218-2101-6|0-8218-2101-6]].</ref><ref>James T. Smith. "Chapter 3: Elementary Euclidean Geometry". [https://books.google.com/books?id=mWpWplOVQ6MC&pg=RA1-PA84 ''Cited work'']. pp. 84 ''ff''.</ref><ref>Edwin E. Moise (1990). [https://books.google.com/books?cd=1&id=3UjvAAAAMAAJ&dq=isbn%3A9780201508673&q=Birkhoff#search_anchor ''Elementary geometry from an advanced standpoint''] (3rd ed.). Addison–Wesley. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-201-50867-2|0-201-50867-2]].</ref>Οι έννοιες της γωνίας και της απόστασης γίνονται θεμελιακές.<ref>John R. Silvester (2001). "§1.4 Hilbert and Birkhoff". [https://books.google.com/books?id=VtH_QG6scSUC&pg=PA5 ''Geometry: ancient and modern'']. Oxford University Press. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-19-850825-5|0-19-850825-5]].</ref>
 
* [[Αξιώματα του Tarski|Αξιώματα του Τάρσκι]]:Ο Alfred Tarski(1902-1983) και οι μαθητές του προσδιόρισαν την στοιχειώδη Ευκλείδεια γεωμετρία ως τη γεωμετρία που μπορεί να εφαρμοστεί σε [[Λογική πρώτου βαθμού|πρώτης-τάξης λογική]] και η λογική της βάση δεν εξαρτάται από [[Θεωρία συνόλων|θεωρία των συνόλων]],σε αντίθεση με τα αξιώματα του Hilbert,που περιλαμβάνουν σύνολα σημείων.Ο Tarski απέδειξε ότι η αξιωματική διατύπωση της στοιχειώδους Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι συνεπής και πλήρης κατά μια ορισμένη έννοια:υπάρχει ένας αλγόριθμος ο οποίος,για κάθε πρόταση,μπορεί να αποδειχθεί είτε αληθείς ή ψευδείς.(Αυτό δεν παραβιάζει το [[Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ|Θεώρημα του Gödel]],επειδή η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν μπορεί να περιγράψει μια επαρκή ποσότητα αριθμητικής για να εφαρμόσει το θεώρημα.)Αυτό είναι ισοδύναμο με τον όρο decidability των πραγματικών κλειστών πεδίων,των οποίων η στοιχειώδης Ευκλείδεια γεωμετρία αποτελεί μοντέλο.
16

επεξεργασίες