Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Αρμονική συνάρτηση»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
=== Αρμονικές απεικονίσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων ===
<blockquote>Εάν Μ και Ν είναι δυο πολλαπλότητες Ριμαν, τότε μια αρμονική απεικόνιση u: M <math>\rightarrow</math> N ορίζεται να είναι ένα κρίσιμο σημείο της ενέργειας Ντιριχλετ</blockquote><blockquote><math>D[u] = \frac{1}{2}\int_M \|du\|^2\,d\operatorname{Vol}</math></blockquote><blockquote>όπου {{nowrap|''du'' : ''TM'' &rarr; ''TN''}} είναι το διαφορικό της u, και η νόρμα είναι αυτή που συμπεριλαμβάνεται από τη μετρική στο Μ και αυτή στο Ν στο εξωτερικό γινόμενο ''T''*''M'' ⊗ ''u''<sup>&#x2212;1</sup> ''TN.''</blockquote>Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις αρμονικών απεικονίσεων μεταξύ πολλαπλοτήτων αποτελούν οι ελάχιστες επιφάνειες, οι οποίες είναι ακριβώς εκείνες οι αρμονικές ενθέσεις μιας επιφάνειας στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Γενικότερα,οι ελάχιστες υποπολλαπλότητες είναι αρμονικές ενθέσεις μιας πολλαπλότητας στην άλλη. Οι αρμονικές συντεταγμένες είναι αρμονικοί διφεομορφισμοί από μια πολλαπλότητα σε ένα ανοιχτό υποσύνολο της ίδιας διάστασης στον Ευκλείδειο χώρο.
 
=== Harmonic maps between manifolds ===
{{main|Harmonic map}}If ''M'' and ''N'' are two Riemannian manifolds, then a [[:en:Harmonic_map|harmonic map]] {{nowrap|''u'' : ''M'' &rarr; ''N''}} is defined to be a critical point of the Dirichlet energy
: <math>D[u] = \frac{1}{2}\int_M \|du\|^2\,d\operatorname{Vol}</math>
in which {{nowrap|''du'' : ''TM'' &rarr; ''TN''}} is the differential of ''u'', and the norm is that induced by the metric on ''M'' and that on ''N'' on the tensor product bundle ''T''*''M'' ⊗ ''u''<sup>&#x2212;1</sup> ''TN''.
 
Important special cases of harmonic maps between manifolds include [[:en:Minimal_surface|minimal surfaces]], which are precisely the harmonic immersions of a surface into three-dimensional Euclidean space. More generally, minimal submanifolds are harmonic immersions of one manifold in another. [[:en:Harmonic_coordinates|Harmonic coordinates]] are a harmonic [[:en:Diffeomorphism|diffeomorphism]] from a manifold to an open subset of a Euclidean space of the same dimension.
24

επεξεργασίες