Αντιμεταθετικός δακτύλιος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 69:
[[Αρχείο:Spec Z.png|μικρογραφία|339x339εσ]]
Από τα [[:en:Commutative_ring#characterisaion_of_maximal_ideals|παραπάνω]], κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι και πρώτο. Η απόδειξη ότι ένα ιδεώδες είναι πρώτο, ή ισοδύναμα ένας δακτύλιος έχει μη μηδενικούς διαιρέτες μπορεί να είναι πολύ δύσκολη.
Τα πρώτα ιδεώδη είναι το βασικό βήμα για την ''γεωμετρική'' ερμηνεία των δακτυλίων, μέσω του ''φάσματος ενός δακτυλίου'' ''Spec R'': αυτός είναι το σύνολο όλων των πρώτων ιδεωδών του ''R''.<ref group="nb" /> Όπως σημειώνεται [[:en:Commutative_ring#existence_of_maximal_ideals|παραπάνω]], υπάρχει ένα τουλάχιστον πρώτο ιδεώδες, επομένως το φάσμα είναι μη-κενό. Αν ''R'' είναι ένα σώμα, το μόνο πρώτο ιδεώδες είναι το μηδενικό ιδεώδες, επομένως το φάσμα είναι μόνο ένα σημείο. Το φάσμα του '''Z''', ωστόσο, περιέχει ένα σημείο για το μηδενικό ιδεώδες, και ένα σημείο για κάθε πρώτο αριθμό ''p'' (ο οποίος παράγει το πρώτο ιδεώδες ''p'''''Z'''). Το φάσμα είναι προικισμένο με μια τοπολογία που ονομάζεται [[Zariski topology|τοπολογία Zariski]] , η οποία καθορίζεται από τα συγκεκριμένα υποσύνολα ''D''(''f'') = {''p'' ∈ ''Spec R'', ''f'' ∉ ''p''}, όπου ''f'' είναι οποιαδήποτε στοιχείο του δακτυλίου, ανοιχτό. Αυτή η τοπολογία τείνει να είναι διαφορετική από αυτές που συναντούμε στην [[ανάλυση]] ή στη [[διαφορική γεωμετρία]], για παράδειγμα, γενικά, θα είναι σημεία που δεν είναι κλειστά. Το [[:en:Closure_(topology)|κλείσιμο]] του [[Ιδεώδες (μαθηματικά)|σημείου που αντιστοιχεί στο μηδέν ιδεώδες]] 0 ⊂ '''Z''', για παράδειγμα, είναι όλο το φάσμα του '''Z'''.
{{πηγές|26|01|2016}}
| |||