Αντιμεταθετικός δακτύλιος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 55:
''Κύριο άρθρο: Εντοπισμός ενός δακτυλίου''
Ο ''εντοπισμός'' ενός δακτυλίου είναι ο αντίστοιχος παράγων δακτύλιος, εφόσον αν σε ένα παράγοντα δακτύλιο ''R'' / ''I'' ορισμένα στοιχεία (δηλαδή των στοιχείων του ''Ι'') γίνουν μηδέν, ορισμένα στοιχεία έχουν αντίστροφο, δηλαδή τα αντίστροφα στοιχεία προστίθενται στον δακτύλιο. Συγκεκριμένα, αν ''S'' είναι ένα κλειστό πολλαπλασιαστικό [[:en:Multiplicatively_closed_subset|υποσύνολο]] του ''R'' (δηλαδή όταν ''s'', ''t'' ∈ ''S'' τότε είναι και ''st∈S'' ), τότε
''S''<sup>-1</sup>''R'' αποτελείται από σύμβολα:
Γραμμή 62:
υπόκεινται σε ορισμένους κανόνες που μιμούνται την διαγραφή που είναι γνωστή από ρητούς αριθμούς. Πράγματι, σε αυτή τη γλώσσα, το '''Q''' είναι ο εντοπισμός του '''Z''' για όλους τους μη μηδενικούς ακεραίους. Αυτή η δομή ισχύει για κάθε ακεραία περιοχή ''R'' του '''Z'''. Ο εντοπισμός (''R'' \ {0})<sup>-1</sup>''R'' ονομάζεται το [[:en:Quotient_field|πηλίκο τομέα]] του ''R''. Αν ''S'' αποτελείται από τις δυνάμεις ενός σταθερού στοιχείου ''f'', ο αντίστοιχος εντοπισμός γράφεται ''R<sub>f</sub>''.
=== Πρώτα ιδεώδη και φάσμα ===
Γραμμή 71 ⟶ 69 :
Τα πρώτα ιδεώδη είναι το βασικό βήμα για την ''γεωμετρική'' ερμηνεία των δακτυλίων, μέσω του ''φάσματος ενός δακτυλίου'' ''Spec R'': αυτός είναι το σύνολο όλων των πρώτων ιδεωδών του ''R''.<ref group="nb" /> Όπως σημειώνεται [[:en:Commutative_ring#existence_of_maximal_ideals|παραπάνω]], υπάρχει ένα τουλάχιστον πρώτο ιδεώδες, επομένως το φάσμα είναι μη-κενό. Αν ''R'' είναι ένα σώμα, το μόνο πρώτο ιδεώδες είναι το μηδενικό ιδεώδες, επομένως το φάσμα είναι μόνο ένα σημείο. Το φάσμα του '''Z''', ωστόσο, περιέχει ένα σημείο για το μηδενικό ιδεώδες, και ένα σημείο για κάθε πρώτο αριθμό ''p'' (ο οποίος παράγει το πρώτο ιδεώδες ''p'''''Z'''). Το φάσμα είναι προικισμένο με μια τοπολογία που ονομάζεται [[Zariski topology|τοπολογία Zariski]] , η οποία καθορίζεται από τα συγκεκριμένα υποσύνολα ''D''(''f'') = {''p'' ∈ ''Spec R'', ''f'' ∉ ''p''}, όπου ''f'' είναι οποιαδήποτε στοιχείο του δακτυλίου, ανοιχτό. Αυτή η τοπολογία τείνει να είναι διαφορετική από αυτές που συναντούμε στην [[ανάλυση]] ή στη [[διαφορική γεωμετρία]], για παράδειγμα, γενικά, θα είναι σημεία που δεν είναι κλειστά. Το [[:en:Closure_(topology)|κλείσιμο]] του [[Ιδεώδες (μαθηματικά)|σημείου που αντιστοιχεί στο μηδέν ιδεώδες]] 0 ⊂ '''Z''', για παράδειγμα, είναι όλο το φάσμα του '''Z'''.
Η έννοια του φάσματος είναι η κοινή βάση της αντιμεταθετικής άλγεβρας και της [[Αλγεβρική γεωμετρία|αλγεβρικής γεωμετρία]]<nowiki/>ς. Η αλγεβρική γεωμετρία προήλθε από τον ''Spec R'' με μία δέσμη <math>\mathcal O</math> (μια οντότητα που συλλέγει συναρτήσεις που ορίζονται τοπικά, δηλαδή σε διαφορετικά ανοιχτά υποσύνολα). Το δεδομένο από το χώρο και τη δέσμη αυτή ονομάζεται συσχετισμενος μετασχηματισμός. Αν δίνεται ένας συσχετισμένος μετασχηματισμός, ο υποκείμενος δακτύλιος ''R'' μπορεί να ανακτηθεί ως το ολικό τμήμα του <math>\mathcal O</math>. Επιπλέον, η γνωστή ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ δακτυλίων και συσχετισμένων μετασχηματισμών είναι επίσης συμβατή με τον ομομορφισμό δακτυλίων: κάθε ''f'' : ''R'' → ''S'' δημιουργεί μια [[Συνέχεια συνάρτησης|συνεχή απεικόνιση]] προς την αντίθετη κατεύθυνση
''Spec S'' → ''Spec R'', ''q'' ↦ ''f''<sup>-1</sup>(''q''), δηλαδή κάθε πρώτο ιδεώδες του ''S'' αντιστοιχίζεται στην απεικόνιση του σ''το f'', το οποίο είναι ένα πρώτο ιδεώδες του ''R''.
{{πηγές|26|01|2016}}
| |||