Αντιμεταθετικός δακτύλιος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Διασταση |
||
Γραμμή 114:
** κάθε παράγων δακτύλιος ''R'' / ''I''.
== Διάσταση ==
Η ''διάσταση Krull'' (ή απλά διάσταση) ''dim R'' ενός δακτυλίου ''R,'' είναι μια έννοια που μετράει το "μέγεθος" του δακτυλίου, πολύ χονδρικά από την καταμέτρηση των ανεξάρτητων στοιχείων στον δακτύλιο ''R''. Συγκεκριμένα, ορίζεται ως το supremum των μηκών ''n'' των αλυσίδων των πρώτων ιδεωδών
<math>\mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n</math>.
{{πηγές|26|01|2016}}▼
Για παράδειγμα, ένα σώμα έχει μηδενική διάσταση,όταν το μοναδικό πρώτο ιδεώδες του είναι το μηδενικό ιδεώδες. Είναι επίσης γνωστό ότι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος είναι δακτύλιος Artinian αν και μόνο αν είναι δακτύλιος Noetherian και μηδενικής διάστασης (δηλαδή, όλα τα πρώτα ιδεώδη είναι και μέγιστα). Οι ακέραιοι είναι μονοδιάστατοι: κάθε αλυσίδα του πρώτου ιδεώδους είναι της μορφής
<math>0 = \mathfrak p_0 \subsetneq p\mathbb Z = \mathfrak p_1</math>, όπου ''p'' είναι ένας [[πρώτος αριθμός]]
από τότε κάθε ιδεώδες στο '''Z''' είναι κύριο.
Η διάσταση συμπεριφέρεται καλά, αν οι δακτύλιοι είναι Noetherian: το αναμενόμενο για την ισότητα
dim ''R''[''X''] = dim ''R'' + 1
κατέχει σε αυτή την περίπτωση (σε γενικές γραμμές, το ένα έχει μόνο dim ''R'' + 1 ≤ dim ''R''[''X''] ≤ 2 · dim ''R'' + 1). Επιπλέον, δεδομένου ότι η διάσταση εξαρτάται μόνο από τη μοναδική μέγιστη αλυσίδα, η διάσταση του ''R'' είναι το [[:en:Supremum|supremum]] όλων των διαστάσεων της τοπικοποίησης ''R<sub>p</sub>'', όπου ''p'' είναι ένα τυχαίο πρώτο ιδεώδες. Διαισθητικά, η διάσταση του ''R'' είναι μια τοπική ιδιότητα του φάσματος του ''R''. Ως εκ τούτου, η διάσταση συχνά ορίζεται μόνο για τους τοπικούς δακτυλίους, επίσης, για το γενικό δακτύλιο Noetherian μπορεί να εξακολουθεί να είναι άπειρη, παρά το γεγονός ότι οι τοπικοί προσδιορισμοί είναι πεπερασμένης διάστασης.
{{Authority control}}
| |||