Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

 
Κατά την διάρκεια του 18ου αιώνα οι μαθηματικοί προσπάθησαν επίσης να καθορίσουν τι έργα μπορούσαν να επιτευχθούν στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Για παράδειγμα το πρόβλημα της [[τριχοτόμησης μιας γωνίας]] ,το οποίο αναφέρεται στην θεωρία, μιας και τα αξιώματα αναφέρονται σε τέτοιες δραστηριότητες οι οποίες μπορούν να υλοποιηθούν με χάρακα και διαβήτη(μέθοδος της λεγόμενης "Κινηματικής Γεωμετρίας"). Ωστόσο και ύστερα από αιώνες αποτυχημένων προσπαθειών για να βρεθεί μια λύση, το 1837 ο [[Πιέρ Βανζέλ]] έφερε στην δημοσιότητα την απόδειξη ότι μία τέτοια κατασκευή ήταν αδύνατο να γίνει. Άλλες επίσης κατασκευές που αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατο να υλοποιηθούν είναι ο [[διπλασιασμός του κύβου]], ο [[τετραγώνισμος του κύκλου]]. Στην περίπτωση του διπλασιασμού του κύβου αυτό που κάνει αδύνατη την κατασκευή του είναι ότι η μέθοδος της "Κινηματικής Γεωμετρίας" περιλαμβάνει εξισώσεις δεύτερης τάξης<ref>Theorem 120, Elements of Abstract Algebra, Allan Clark, Dover, ISBN 0-486-64725-0</ref> ,ενώ ο διπλασιασμός του κύβου απαιτεί την επίλυση εξισώσεως τρίτης τάξης.
 
Ο [[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]] συζήτησε μία γενίκευση της Ευκλείδειας γεωμετρίας που ονομάζεται [[αφηρημένη γεωμετρία]] (αυτό που μένει από την Ευκλείδεια γεωμετρία όταν δεν χρησιμοποιούμε τις μετρικές έννοιες της απόστασης και της γωνίας), η οποία διατηρεί το 5ο αξίωμα μη τροποποιημένο ενώ αποδυναμώνει τα αξιώματα 3 και 4 με έναν τρόπο που καταργεί τις έννοιες της γωνίας(εξ ου και οι ορθές γωνίες χάνουν το νόημά τους) και της ισότητας του μήκους των τμημάτων της γραμμής γενικευμένα(εξ ου και οι κύκλοι χάνουν το νόημά τους) ,ενώ αντίθετα διατηρεί τις έννοιες του παραλληλισμού σαν σχέση ισοδυναμίας μεταξύ των γραμμών και την ισότητα του μήκους των παράλληλων τμημάτων γραμμής(έτσι ώστε τα τμήματα γραμμής να εξακολουθούν να έχουν μέσο).
 
=== 19ος αιώνας και μη Ευκλείδεια Γεωμετρία ===
18

επεξεργασίες