Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
==Ορισμοί της εκθετικής συνάρτησης==
Η εκθετική συνάρτηση {{Math|''e<sup>x</sup>''}} για πραγματικές τιμές του {{Math|''x''}} μπορεί να οριστεί με μερικούς διαφορετικούς ισοδύναμους τρόπους. ΠολλέςΑρκετές από αυτές τις μεθόδους μπορούν ευθέως να επεκταθούν για να δώσουν ορισμούς του {{Math|''e<sup>z</sup>''}} για μιγαδικές τιμές του {{Math|''z''}} απλώς αντικαθιστώντας το {{Math|''z''}} στη θέση του {{Math|''x''}} και χρησιμοποιώντας μιγαδικές αλγεβρικές πράξεις. Συγκεκριμένα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν οποιοδήποτε από τους παρακάτω δύο ορισμούς που είναι ισοδύναμοι. Από μία πιο προχωρημένη οπτική, καθένας από τους ορισμούς μπορεί να ερμηνευτεί ότι μας δίνει αναλυτική επέκταση κατά μοναδικό τρόπο του {{Math|''e<sup>x</sup>''}} στο μιγαδικό επίπεδο.
 
===Ορισμός μέσω δυναμοσειράς===
Για μιγαδικό {{Math|''z''}} ισχύει ότι:
 
:<math>e^z = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}.</math>
 
Χρησιμοποιώντας το κριτήριο του λόγου είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι η συγκεκριμένη [[δυναμοσειρά]] έχει άπειρη ακτίνα σύγκλισης, και κατά συνέπεια η συνάρτηση {{Math|''e<sup>z</sup>''}} ορίζεται για κάθε μιγαδικό {{Math|''z''}}.
 
===Ορισμός μέσω ορίου===
Για μιγαδικό {{Math|''z''}} ισχύει ότι:
 
:<math>e^z = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n ~.</math>
 
==Αποδείξεις==
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι απόδειξης του τύπου του Euler.
 
===Με χρήση δυναμοσειράς===
Παρακάτω θα παραθέσουμε μία απόδειξη χρησιμοποιώντας τη σειρά Taylor καθώς και βασικά αποτελέσματα όσον αφορά τις δυνάμεις του ''i'':<ref>[https://books.google.com/books?id=PjK0F0T3NBoC&pg=PA428 A Modern Introduction to Differential Equations, by Henry J. Ricardo, p428]</ref>
 
: <math>\begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}= -1, \quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i,
\end{align}</math>
 
και ούτω καθεξής. Κάνοντας χρήση του ορισμού ανάπτυξης του εκθετικού σε δυναμοσειρά που δώσαμε παραπάνω βλέπουμε ότι για πραγματικές τιμές του''x''
 
: <math>\begin{align}
e^{ix} &{}= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
&{}= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
&{}= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt]
&{}= \cos x + i\sin x \ .
\end{align}</math>
 
Στο τελευταίο βήμα απλώς αναγνωρίσαμε τη σειρά Maclaurin για τις συναρτήσεις ''cos(x)'' και ''sin(x)''. Η αναδιάταξη των όρων δικαιολογείται λόγω της απόλυτης σύγκλισης κάθε σειράς.
===Με χρήση λογισμού===
 
Μία άλλη απόδειξη<ref name=Strang>{{cite book |url=http://ocw.mit.edu/resources/res-18-001-calculus-online-textbook-spring-2005/textbook/ |title=Calculus |first=Gilbert |last=Strang |page=389 |publisher=Wellesley-Cambridge |year=1991 |isbn=0-9614088-2-0}} ''(Δεύτερη απόδειξη στη σελίδα)''</ref> βασίζεται στο γεγονός ότι όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να εκφραστούν σε πολικές συντεταγμένες. Κατά συνέπεια για κάποια {{Math|''r''}} και {{Math|''θ''}} που εξαρτώνται από το {{Math|''x''}} έχουμε,
:<math>e^{ix} = r (\cos(\theta) + i \sin(\theta))\,.</math>
Τώρα από καθένα από τους ορισμούς της εκθετικής συνάρτησης μπορεί να δειχθεί ότι η παράγωγος του {{math|''e''<sup>''ix''</sup>}} είναι {{math|''ie''<sup>''ix''</sup>}}. Με αυτό υπόψη και παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης παίρνουμε
:<math>i e ^{ix} = (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \frac{dr}{dx} + r (-\sin(\theta) + i \cos(\theta)) \frac{d \theta}{dx}\,.</math>
Αντικαθιστώντας όπου <math>r (\cos(\theta) + i \sin(\theta))</math> το <math>e^{ix}</math> και εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη προκύπτει <math>\textstyle \frac{dr}{dx} = 0</math> και <math>\textstyle \frac{d\theta}{dx} = 1</math>. Μαζί με τις αρχικές τιμές <math>r(0) = 1</math> και <math>\theta(0) = 0</math> που προέρχονται από το <math>e^{i0} = 1</math> παίρνουμε <math>r=1</math> και <math>\theta=x</math>. Αυτό αποδεικνύει τον τύπο <math>e^{ix} = 1(\cos(x)+i \sin(x))</math>.
 
==Αναφορές==
<references/>
18

επεξεργασίες