Τύπος του Όιλερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 1:
''' '''Ο '''τύπος του
<math> e^{ix}=\cos x+i\sin x, </math>
όπου {{Math|''e''}} είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου, {{Math|''i''}} η φανταστική μονάδα, ενώ τα {{Math|cos}} and {{Math|sin}} συμβολίζουν τις [[τριγωνομετρικές συναρτήσεις]] του συνημιτόνου και του ημιτόνου, αντίστοιχα, με το όρισμα {{Math|''x''}} να δίνεται σε ακτίνια. Η παραπάνω μιγαδική εκθετική συνάρτηση καλείται μερικές φορές {{nobreak|''[[cis (mathematics)|cis]]''(''x'')}} ("''c''osine plus ''i'' ''s''ine"). Ο τύπος του
Ο τύπος του
==Ιστορία==
Γραμμή 36:
Η αρχική απόδειξη βασίζεται στα αναπτύγματα της εκθετικής συνάρτησης {{Math|''e<sup>z</sup>''}} σε σειρά Taylor (όπου {{Math|''z''}} είναι ένας μιγαδικός αριθμός) και των συναρτήσεων {{Math|sin ''x''}} και {{Math|cos ''x''}} για πραγματικούς αριθμούς {{Math|''x''}}. Στην πραγματικότητα, η ίδια απόδειξη δείχνει ότι ο τύπος του Euler ισχύει ακόμα και για μιγαδικούς αριθμούς {{Math|''x''}}.
Ένα σημείο στο μιγαδικό επίπεδο μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν μιγαδικό αριθμό γραμμένο σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Ο τύπος του
:<math>
Γραμμή 52:
{{Math|''ϕ''}} είναι το όρισμα του ''z'', δηλαδή η γωνία μεταξύ του άξονα x και του διανύσματος ''z'' μετρημένη σε ακτίνια αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού και μπορεί να διαφέρει κατά ακέραια πολλαπλάσια του {{Math|2π}}. Πολλά μαθηματικά κείμενα γράφουν θ = tan<sup>−1</sup>(''y''/''x'') αντί για θ = atan2(''y'',''x''), αλλά η πρώτη εξίσωση απαίτει περαιτέρω προσδιορισμό όταν ''x'' ≤ 0. Αυτό συμβαίνει επειδή για πραγματικούς x, y που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν, οι γωνίες των διανυσμάτων (x,y) και (-x,-y) διαφέρουν μεταξύ τους κατά {{Math|π}} ακτίνια, αλλά έχουν την ίδια τιμή της tan(θ) = y/x.
Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του
:<math>a = e^{\ln (a)} \ </math>
και επιπλέον ότι
Γραμμή 62:
: <math>\ln z= \ln |z| + i \phi \ ,</math>
σχέση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός του μιγαδικού λογαρίθμου. Ο λoγάριθμος ενός μιγαδικού αριθμού είναι μία συνάρτηση που λαμβάνει πολλές τιμές, επειδή το {{Math|''ϕ''}} παίρνει και αυτό πολλές τιμές. Τέλος από τον εκθετικό νόμο
: <math>(e^a)^k = e^{a k} \ ,</math>
που ισχύει για κάθε ακέραιο ''k'', μαζί με τον τύπο του
==Σχέση με την τριγωνομετρία==
[[File:Sine Cosine Exponential qtl1.svg|thumb|Σχέση μεταξύ ημιτόνου, συνημιτόνου και εκθετικής συνάρτησης]]
Ο τύπος του
:<math>
Γραμμή 79 ⟶ 78 :
\end{align}
</math>
Οι παραπάνω δύο εξισώσεις μπορούν να εξαχθούν προσθέτοντας ή αφαιρώντας τους παρακάτω τύπους του
: <math>
Γραμμή 121 ⟶ 120 :
Βλέπε επίσης αριθμητική των στρεφόμενων διανυσμάτων.
==Τοπολογική ερμηνεία==
Στη γλώσσα της τοπολογίας ο τύπος του
==Άλλες εφαρμογές==
Στις [[Διαφορική εξίσωση|διαφορικές εξισώσεις]] η συνάρτηση {{Math|''e<sup>ix</sup>''}} χρησιμοποιείται για να απλοποιήσει την εξαγωγή σχέσεων ακόμα και αν ο τελικός τύπος είναι μία πραγματική συνάρτηση που περιλαμβάνει ημίτονα και συνημίτονα. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι το γεγονός ότι η μιγαδική εκθετική συνάρτηση είναι η [[Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα|ιδιοσυνάρτηση]] της παραγώγισης. Η [[
Στην ηλεκτρονική μηχανική και σε άλλα πεδία, τα σήματα που μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο συχνά περιγράφονται σαν ένας συνδυασμός συναρτήσεων ημιτόνου και συνημιτόνου (βλέπε ανάλυση Fourier), τις οποίες μας διευκολύνει να εκφράσουμε ως το πραγματικό μέρος εκθετικών συναρτήσεων με φανταστικούς εκθέτες χρησιμοποιώντας τον τύπο του
==Ορισμοί της εκθετικής συνάρτησης==
Γραμμή 143 ⟶ 142 :
==Αποδείξεις==
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι απόδειξης του τύπου του
===Με χρήση δυναμοσειράς===
Παρακάτω θα παραθέσουμε μία απόδειξη χρησιμοποιώντας τη [[σειρά
: <math>\begin{align}
Γραμμή 168 ⟶ 167 :
\end{align}</math>
Στο τελευταίο βήμα απλώς αναγνωρίσαμε τη [[σειρά Maclaurin]] για τις συναρτήσεις ''cos(x)'' και ''sin(x)''. Η αναδιάταξη των όρων δικαιολογείται λόγω της απόλυτης σύγκλισης κάθε σειράς.
===Με χρήση λογισμού===
|