Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Τύπος του Όιλερ»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
''' '''Ο '''τύπος του EulerΌιλερ, '''που πήρε το όνομά του από τον [[Λέοναρντ Όιλερ|Leonhard Euler]], είναι ένας μαθηματικός τύπος στη [[μιγαδική ανάλυση]] που καθορίζει τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ των [[Τριγωνομετρική συνάρτηση|τριγωνομετρικών συναρτήσεων]] και της [[Εκθετική συνάρτηση|εκθετικής συνάρτησης]] με φανταστικό όρισμα. Σύμφωνα με τον τύπο του EulerΌιλερ για κάθε πραγματικό αριθμό {{Math|''x''}} ισχύει
 
<math> e^{ix}=\cos x+i\sin x, </math>
 
όπου {{Math|''e''}} είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου, {{Math|''i''}} η φανταστική μονάδα, ενώ τα {{Math|cos}} and {{Math|sin}} συμβολίζουν τις [[τριγωνομετρικές συναρτήσεις]] του συνημιτόνου και του ημιτόνου, αντίστοιχα, με το όρισμα {{Math|''x''}} να δίνεται σε ακτίνια. Η παραπάνω μιγαδική εκθετική συνάρτηση καλείται μερικές φορές {{nobreak|''[[cis (mathematics)|cis]]''(''x'')}} ("''c''osine plus ''i'' ''s''ine"). Ο τύπος του EulerΌιλερ ισχύει και στην περίπτωση που το όρισμα {{Math|''x''}} είναι μιγαδικός αριθμός, με αποτέλεσμα ορισμένοι συγγραφείς να αναφέρονται σε αυτή την πιο σύνθετη εκδοχή της ως τύπο του Euler.<ref>{{cite book | first=Martin A. | last= Moskowitz | title=A Course in Complex Analysis in One Variable | publisher=World Scientific Publishing Co. | year=2002 | isbn=981-02-4780-X | pages=7}}</ref>
 
Ο τύπος του EulerΌιλερ συναντάται στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική. Ο φυσικός [[Ρίτσαρντ Φίλλιπς Φάινμαν|Richard Feynman]] αποκάλεσε την εξίσωση "κόσμημα" και "τον πιο αξιοσημείωτο τύπο στα μαθηματικά."<ref>{{cite book|first=Richard P.|last= Feynman|title=The Feynman Lectures on Physics, vol. I|publisher=Addison-Wesley|year=1977|isbn=0-201-02010-6|page=22-10}}</ref>
 
==Ιστορία==
Η αρχική απόδειξη βασίζεται στα αναπτύγματα της εκθετικής συνάρτησης {{Math|''e<sup>z</sup>''}} σε σειρά Taylor (όπου {{Math|''z''}} είναι ένας μιγαδικός αριθμός) και των συναρτήσεων {{Math|sin ''x''}} και {{Math|cos ''x''}} για πραγματικούς αριθμούς {{Math|''x''}}. Στην πραγματικότητα, η ίδια απόδειξη δείχνει ότι ο τύπος του Euler ισχύει ακόμα και για μιγαδικούς αριθμούς {{Math|''x''}}.
 
Ένα σημείο στο μιγαδικό επίπεδο μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν μιγαδικό αριθμό γραμμένο σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Ο τύπος του EulerΌιλερ μας παρέχει το μέσο για την μετατροπή των καρτεσιανών συντεταγμένων σε πολικές. Η πολική μορφή απλοποιεί τα μαθηματικά όταν χρησιμοποιείται στον πολλαπλασιασμό ή στις δυνάμεις μιγαδικών αριθμών. Κάθε μιγαδικός αριθμός {{Math|1 = ''z'' = ''x'' + ''iy''}}, και ο μιγαδικός συζυγής του, {{Math|1 = {{overline|''z''}} = ''x'' − ''iy''}}, μπορούν να γραφούν ως
 
:<math>
{{Math|''ϕ''}} είναι το όρισμα του ''z'', δηλαδή η γωνία μεταξύ του άξονα x και του διανύσματος ''z'' μετρημένη σε ακτίνια αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού και μπορεί να διαφέρει κατά ακέραια πολλαπλάσια του {{Math|2π}}. Πολλά μαθηματικά κείμενα γράφουν θ = tan<sup>−1</sup>(''y''/''x'') αντί για θ = atan2(''y'',''x''), αλλά η πρώτη εξίσωση απαίτει περαιτέρω προσδιορισμό όταν ''x''&nbsp;≤&nbsp;0. Αυτό συμβαίνει επειδή για πραγματικούς x, y που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν, οι γωνίες των διανυσμάτων (x,y) και (-x,-y) διαφέρουν μεταξύ τους κατά {{Math|π}} ακτίνια, αλλά έχουν την ίδια τιμή της tan(θ) = y/x.
 
Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του EulerΌιλερ για να ορίσουμε το [[Λογάριθμος|λογάριθμο]] ενός μιγαδικού αριθμού. Για να το κάνουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τον ορισμό του λογαρίθμου (ως αντίστροφης συνάρτησης της εκθετικής) που λέει ότι
:<math>a = e^{\ln (a)} \ </math>
και επιπλέον ότι
 
: <math>\ln z= \ln |z| + i \phi \ ,</math>
σχέση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός του μιγαδικού λογαρίθμου. Ο λoγάριθμος ενός μιγαδικού αριθμού είναι μία συνάρτηση που λαμβάνει πολλές τιμές, επειδή το {{Math|''ϕ''}} παίρνει και αυτό πολλές τιμές. Τέλος από τον εκθετικό νόμο
Τέλος από τον εκθετικό νόμο
 
: <math>(e^a)^k = e^{a k} \ ,</math>
 
που ισχύει για κάθε ακέραιο ''k'', μαζί με τον τύπο του EulerΌιλερ, μπορούν να προκύψουν πολλές [[τριγωνομετρικές ταυτότητες]] όπως επίσης και ο [[τύπος του de Moivre]].
 
==Σχέση με την τριγωνομετρία==
[[File:Sine Cosine Exponential qtl1.svg|thumb|Σχέση μεταξύ ημιτόνου, συνημιτόνου και εκθετικής συνάρτησης]]
Ο τύπος του EulerΌιλερ μάς παρέχει μια ισχυρή σχέση μεταξύ της [[Μαθηματική ανάλυση|ανάλυσης]] και της [[Τριγωνομετρία|τριγωνομετρίας]], ενώ προσδίδει μία ερμηνεία των συναρτήσεων του ημιτόνου και του συνημιτόνου ως σταθμισμένα αθροίσματα της εκθετικής συνάρτησης''':'''
 
:<math>
\end{align}
</math>
Οι παραπάνω δύο εξισώσεις μπορούν να εξαχθούν προσθέτοντας ή αφαιρώντας τους παρακάτω τύπους του EulerΌιλερ''':'''
 
: <math>
Βλέπε επίσης αριθμητική των στρεφόμενων διανυσμάτων.
==Τοπολογική ερμηνεία==
Στη γλώσσα της τοπολογίας ο τύπος του EulerΌιλερ δηλώνει ότι η φανταστική εκθετική συνάρτηση <math>t\mapsto e^{it}</math> είναι ένας (επιρριπτικός) μορφισμός των [[τοπολογικών ομάδων]] <nowiki/>από την ευθεία των πραγματικών αριθμών {{Math|ℝ}} στο μοναδιαίο κύκλο <math>\mathbb S^1</math>. Στην πραγματικότητα, αυτό αναδεικνύει το {{Math|ℝ}} ως [[χώρο κάλυψης]] του <math>\mathbb S^1</math>. Ομοίως, η [[Ταυτότητα του Όιλερ|ταυτότητα του Euler]] λέει ότι ο πυρήνας της απεικόνισης είναι <math>\tau\mathbb Z</math>, όπου <math>\tau = 2\pi</math>. Οι παρατηρήσεις αυτές μπορούν να συνδυαστούν και να συνοψιστούν από ένα [[μεταθετικό διάγραμμα]].
==Άλλες εφαρμογές==
Στις [[Διαφορική εξίσωση|διαφορικές εξισώσεις]] η συνάρτηση {{Math|''e<sup>ix</sup>''}} χρησιμοποιείται για να απλοποιήσει την εξαγωγή σχέσεων ακόμα και αν ο τελικός τύπος είναι μία πραγματική συνάρτηση που περιλαμβάνει ημίτονα και συνημίτονα. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι το γεγονός ότι η μιγαδική εκθετική συνάρτηση είναι η [[Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα|ιδιοσυνάρτηση]] της παραγώγισης. Η [[Ταυτότηταταυτότητα του Όιλερ|ταυτότητα του Euler]] είναι απλή συνέπεια του τύπου του EulerΌιλερ.
 
Στην ηλεκτρονική μηχανική και σε άλλα πεδία, τα σήματα που μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο συχνά περιγράφονται σαν ένας συνδυασμός συναρτήσεων ημιτόνου και συνημιτόνου (βλέπε ανάλυση Fourier), τις οποίες μας διευκολύνει να εκφράσουμε ως το πραγματικό μέρος εκθετικών συναρτήσεων με φανταστικούς εκθέτες χρησιμοποιώντας τον τύπο του EulerΌιλερ. Επίσης, η ανάλυση σε στρεφόμενα διανύσματα μπορεί να συμπεριλάβει τον τύπο του EulerΌιλερ για να αναπαραστήσει την εμπέδηση ενός πυκνωτή ή ενός πηνίου.
 
==Ορισμοί της εκθετικής συνάρτησης==
 
==Αποδείξεις==
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι απόδειξης του τύπου του EulerΌιλερ.
 
===Με χρήση δυναμοσειράς===
Παρακάτω θα παραθέσουμε μία απόδειξη χρησιμοποιώντας τη [[σειρά TaylorΤέιλορ]] καθώς και βασικά αποτελέσματα όσον αφορά τις δυνάμεις του ''i'':<ref>[https://books.google.com/books?id=PjK0F0T3NBoC&pg=PA428 A Modern Introduction to Differential Equations, by Henry J. Ricardo, p428]</ref>
 
: <math>\begin{align}
\end{align}</math>
 
Στο τελευταίο βήμα απλώς αναγνωρίσαμε τη [[σειρά Maclaurin]] για τις συναρτήσεις ''cos(x)'' και ''sin(x)''. Η αναδιάταξη των όρων δικαιολογείται λόγω της απόλυτης σύγκλισης κάθε σειράς.
===Με χρήση λογισμού===
 
18

επεξεργασίες