Αντιμεταθετικός δακτύλιος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 148:
Αυτή η τοπολογία ονομάζεται I-adic [[τοπολογία]]. Ο R μπορεί να ολοκληρωθεί σε σχέση με αυτή την τοπολογία. Επισήμως, η ολοκλήρωση της I-adic τοπολογία είναι το [[Όριο συνάρτησης|αντίστροφο όριο]] του δακτυλίου ''R''/''I<sup>n</sup>''.Για παράδειγμα, αν ο k ένα σώμα, ''k''[[''X''<nowiki>]], η </nowiki>[[Πολυώνυμο|τυπική σειρά των δυνάμεων]] μίας μεταβλητής του k είναι η I-adic ολοκλήρωση του ''k''[''X''] , όπου I είναι το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το Χ. Αναλόγως, o δακτύλιος p-adic των ακεραίων είναι η ''I''-adic ολοκλήρωση του '''Z''' , όπου ''I'' είναι το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το ''p''. Οποιοσδήποτε δακτύλιος που είναι ισόμορφος με την δική του ολοκλήρωση, ονομάζεται [[Ολοκλήρωμα|ολοκληρωτικός]].
== Ιδιότητες ==
Από το θεώρημα του Wedderburn, κάθε πεπερασμένος δακτύλιο διαίρεσης είναι αντιμεταθετικός, και συνεπώς ένα [[πεπερασμένο σώμα]]. Μία άλλη προϋπόθεση για την εξασφάλιση της αντιμεταθετικότητας του δακτυλίου , σύμφωνα με τον Jacobson, είναι η παρακάτω: για κάθε στοιχείο r του R υπάρχει ένας ακέραιος n>1 τέτοιος ώστε {{nowrap|1=''r''<sup>''n''</sup> = ''r''}}. Αν για κάθε r ισχύει ''r''<sup>2</sup> = ''r ,'' ο δακτύλιος ονομάζεται [[Άλγεβρα Μπουλ|δακτύλιος Boolean]]. Υπάρχουν κι άλλες προϋποθέσεις για την εξασφάλιση της αντιμεταθετικότητας των δακτυλίων που είναι επίσης γνωστές.
By [[:en:Wedderburn's_little_theorem|Wedderburn's theorem]], every finite [[:en:Division_ring|division ring]] is commutative, and therefore a [[:en:Finite_field|finite field]]. Another condition ensuring commutativity of a ring, due to[[:en:Nathan_Jacobson|Jacobson]], is the following: for every element ''r'' of ''R'' there exists an integer {{nowrap|''n'' > 1}} such that {{nowrap|1=''r''<sup>''n''</sup> = ''r''}}.<ref /> If, ''r''<sup>2</sup> = ''r'' for every ''r'', the ring is called [[:en:Boolean_ring|Boolean ring]]. More general conditions which guarantee commutativity of a ring are also known.{{Authority control}}
{{Μαθηματικά-επέκταση}}
[[Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων]]
| |||