Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Αρμονική συνάρτηση»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
Στα [[μαθηματικά]], τη [[μαθηματική φυσική]] και στη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών, μια αρμονική συνάρτηση είναι μια διπλάδύο [[Συνεχήςφορές συνάρτηση|συνεχής]]συνεχώς [[Διαφορικός λογισμόςΔιαφόριση|διαφορικήδιαφορίσιμη]] [[συνάρτηση]] f:U→R (όπου U ένα ανοικτό [[υποσύνολο]] του R<sup>n</sup>), η οποία ικανοποιεί την [[Εξίσωση Λαπλάς|εξίσωση Λαπλας]] π.χ
 
<math>{\partial^2f\over\partial x_1^2}+{\partial^2f\over\partial x_2^2}+...+{\partial^2f\over\partial x_n^2}=0</math> ,παντού στο U.
Παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων με δύο μεταβλητές είναι:
* Το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος μιας [[Ολόμορφη συνάρτηση|ολόμορφης συνάρτησης]]
* Η συνάρτηση <math>\,\! f(x,y)=e^{x} \sin y</math>, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του παραπάνω παραδείγματος, καθώς <math>f(x,y)=\operatorname{Im}(e^{x+iy})</math> και ναη <math>e^{x+iy}</math> είναι ολόμορφη συνάρτηση.
* Η συνάρτηση
:: <math>\,\! f(x_1,x_2)=\ln (x_1^2+x_2^2)</math>
|Ευθεία x-προσανατολισμένων διπόλων στον αρνητικό άξονα z
|}
Αρμονικές συναρτήσεις που προκύπτουν στη φυσική προσδιορίζονται από τα ανώμαλα σημεία και τις συνοριακές συνθήκες (όπως είναι οι οριακές συνθήκες Dirichlet ή οι Neumann οριακές συνθήκες). Στις περιοχές χωρίς όρια, προσθέτοντας το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος κάθε συνάρτησης παράγεται μια αρμονική συνάρτηση με το ίδιο ανώμαλο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, η αρμονική συνάρτηση δεν καθορίζεται από το ανώμαλο σημείο της, ωστόσο, μπορούμε να κάνουμε τη λύση μοναδική  σε φυσικές καταστάσεις, απαιτώντας ότι η λύση τείνει στο 0, τείνονταςκαθώς τείνουμε στο άπειρο. Η μοναδικότητα προκύπτει από το θεώρημα του Liouville.
 
Τα ανώμαλα σημεία των παραπάνω αρμονικών συναρτήσεων εκφράζονται ως "φορτία" και "πυκνότητες φορτίων" χρησιμοποιώντας την ορολογία της [[Ηλεκτροστατική|ηλεκτροστατικής]]. Έτσι η αντίστοιχη αρμονική συνάρτηση θα είναι ανάλογη με το [[Ηλεκτρικό δυναμικό|ηλεκτροστατικό δυναμικό]] λόγω αυτών των κατανομών του φορτίου. Κάθε ανωτέρω συνάρτηση όταν πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά, που περιστρέφεται, ή/και μια σταθερά που προστίθεται, θα παράξει μια άλλη αρμονική συνάρτηση. Η [[Αντίστροφη συνάρτηση|αντιστροφή]] κάθε συνάρτησης, θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση η οποία έχει ανώμαλα σημεία της εικόνες των αρχικών ανώμαλων σημείων σε ένα σφαιρικό "καθρέφτη". Ακόμη, το άθροισμα δύο αρμονικών συναρτήσεων θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση.
 
== Παρατηρήσεις ==
Το σύνολο των αρμονικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα ανοικτόδοσμένο δοσμενοανοιχτό σύνολο U μπορεί να θεωρηθεί ως ο πυρήνας ενός τελεστή Λαπλας Δ και για το λόγο αυτό αποτελεί διανυσματικό χώρο πάνω στο R; το άθροισμα, η διαφορά και το βαθμωτό γινόμενο αρμονικών συναρτήσεων είναι επίσης αρμονικά.
 
Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση στο σύνολο U, τότε όλες οι μερικές παράγωγοι της f θα είναι αρμονικές συναρτήσεις στο U.
 
Κατά κάποιο τρόπο, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι οι πραγματικές συναρτήσεις ανάλογες των [[ΟμομορφισμόςΟλόμορφη συνάρτηση|ολομορφικώνολόμορφων]] συναρτήσεων.
 
Όλες οι αρμονικές συναρτήσεις είναι αναλυτικές, μπορούν δηλαδή να εκφραστούν τοπικά σα δυναμοσειρές. Αυτός είναι ένας γενικός κανόνας για τους ελλειπτικούς τελεστές, μεγαλύτερο παράδειγμα των οποίων αποτελεί ο [[Τελεστής Λαπλάς|τελεστής Λαπλας]].
 
== Σύνδεση με τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων ==
Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος κάθε ολόμορφης συνάρτησης δίνουν αρμονικές συναρτήσεις στον '''R'''<sup>2</sup> (αυτές αποτελούν ένα ζευγάρι σηζυγών αρμονικών συναρτήσεων). Αντιστρόφως, κάθε αρμονική συνάρτηση ''u'' σε ένα ανοιχτό υποσύνολο Ω του '''R'''<sup>2</sup> είναι ''τοπικά'' το πραγματικό μέρος μιας ολόμορφης συνάρτησης. Αυτό είναι άμεσα αντιληπτό παρατηρώντας την ''z''&#x20;=&#x20;''x''&#x20;+&#x20;''iy,''. Η μιγαδική συνάρτηση ''g''(''z'')&#x20;:=&#x20;''u<sub>x</sub>''&#x20;−&#x20;i ''u<sub>y</sub>'' είναι ολόμορφη στο Ω επειδή ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann. Ως εκ τούτου, η ''το g'' έχει τοπικά μιααρχική παράγουσασυνάρτηση μια ''f,'' και το ''u'' είναι το πραγματικό μέρος της ''f'' πάνωως σεπρος μια σταθερά, όπως το ''u<sub>x</sub>'' είναι το πραγματικό μέρος της <math>\scriptstyle f\,^\prime=g</math> .
 
Αν και η παραπάνω αντιστοιχία με τις ολόμορφες συναρτήσεις ισχύει μόνο για συναρτήσεις δύο πραγματικών [[Μεταβλητή (μαθηματικά)|μεταβλητών]], αρμονικές συναρτήσεις με ''n'' μεταβλητές εξακολουθούν να έχουν μια σειρά από ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τις ολόμορφες συναρτήσεις. Είναι [[Αναλυτική συνάρτηση|αναλυτικές]], ικανοποιούν την αρχή του μεγίστου και της μέσης τιμής.Το θεώρημα της απαλοιφής των ανώμαλων σημείων καθώς και το θεώρημα Liouville ισχύει και για αυτές κατ ' αναλογία με τα αντίστοιχα θεωρήματα στη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων.
 
== Ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων ==
Οι αρμονικές συναρτήσεις ικανοποιούν την παρακάτω [http://users.auth.gr/natreas/Efarmosmena/Kef-6.pdf αρχή μεγίστου]: εάν Κ είναι ένα [[Συμπαγής χώρος|συμπαγές]] υποσύνολο του U, τότε η συνάρτηση f, περιορισμένη στο Κ, παίρνει τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της στο σύνορο του Κ. Εάν to U είναι συνεκτικό, τότε η f δεν μπορεί να έχει τοπικά ακρότατα, εκτός από την εξαιρετική περίπτωση όπου η f είναι σταθερή.
 
=== Ιδιότητα τηςτου ΜέσηςΜέσου ΤιμήςΌρου ===
Εάν ''B''(''x'', ''r'') είναι μια μπάλα με κέντρο το ''x'' και ακτίνα ''r'' , η οποία περιέχεται εξ'ολοκλήρου μέσα σε ένα ανοιχτό σύνολο Ω ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup> , τότε η τιμή ''u''(''x'') μιας αρμονικής συνάρτησης ''u'': Ω → '''R''' στο κέντρο της μπάλας προκύπτει από το [[Μέσος όρος|μέσο όρο]] των τιμών της ''u'' στην επιφάνεια της μπάλας. Αυτή η μέση τιμή ισούται επίσης με τη μέση τιμή της ''u'' στο εσωτερικό της μπάλας. Με άλλα λόγια
 
24

επεξεργασίες