Κοπούλα (θεωρία πιθανοτήτων): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Copula (probability theory)" |
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Copula (probability theory)" |
||
Γραμμή 82:
=== Eπίπεδο Αρχιμήδη ===
To επίπεδο του Αρχιμήδη είναι συνδυαστικό μάθημα των επιπέδων.Πιο κοινά αρχιμήδεια επίπεδα αποδέχονται έναν ειδικό τύπο,κάτι αδύνατον, για παράδειγμα στο επίπεδο του Gaussian.Στην πράξη το επίπεδα του Αρχιμήδη είναι δημοφιλή γιατί επιτρέπουν την μοντελοποιήση της εξάρτησης αυθαίρετα υψηλών διαστάσεων με μία μονο παράμετρο, που διέπουν τη δύναμη εξάρτησης.
<span>Ένα επίπεδο </span>'''C''' ονομάζεται αρχιμήδειο,αν μπορεί να αντικατασταθει από το<ref name="Nelsen 2006">{{Πρότυπο:Cite book|title=An Introduction to Copulas, Second Edition|last=Nelsen|first=R. B.|publisher=Springer Science+Business Media Inc.|year=2006|isbn=978-1-4419-2109-3|location=New York, NY 10013, USA}}</ref>
: <math> C(u_1,\dots,u_d;\theta) = \psi^{[-1]}\left(\psi(u_1;\theta)+\cdots+\psi(u_d;\theta);\theta\right) \,</math>
όπου<math>\psi\!:[0,1]\times\Theta \rightarrow [0,\infty)</math> είναι συνεχής,γνησίως φθίνουσα και κυρτή συνάρτηση <math>\psi(1;\theta)=0</math>. <math>\theta</math> είναι μια παράμετρος μέσα σε κάποια παράμετρο χώρο <math>\Theta</math>. <math>\psi</math> είναι η λεγόμενη γεννήτρια συνάρτηση και <math>\psi^{[-1]}</math> είναι η ψευδοαντίστροφη που ορίζεται από
: <math> \psi^{[-1]}(t;\theta) = \left\{\begin{array}{ll} \psi^{-1}(t;\theta) & \mbox{if }0 \leq t \leq \psi(0;\theta) \\ 0 & \mbox{if }\psi(0;\theta) \leq t \leq\infty. \end{array}\right. \,</math>
Επιπλέον ο παραπάνω τύπος για '''C παράγει ένα επίπεδο για το '''<math>\psi^{-1}\,</math> αν και μόνο αν <math>\psi^{-1}\,</math> είναι d-μονότονη στο <math>[0,\infty)</math>.<ref>{{Πρότυπο:Cite journal|title=Multivariate Archimedean copulas, ''d''-monotone functions and <math>\mathit{l}</math>1-norm symmetric distributions|last=McNeil|first=A. J.|last2=Nešlehová|first2=J.|journal=[[Annals of Statistics]]|issue=5b|doi=10.1214/07-AOS556|year=2009|volume=37|pages=3059–3097}}</ref> Αυτό ισχύει μόνο όταν είναι <math>d-2</math> φορές διαφορίσιμες και τα παράγωγα πληρούν
: <math> (-1)^k\psi^{-1,(k)}(t;\theta) \geq 0 \,</math>
για κάθε <math>t\geq 0</math> και<math>k=0,1,\dots,d-2</math> και<math>(-1)^{d-2}\psi^{-1,(d-2)}(t;\theta)</math> είναι μη αύξουσα και κυρτή.
==== Το πιο σημαντικό αρχημήδειο επίπεδο ====
Οι παρακάτω πίνακες έχουν αναδείξει τα πιο σημαντικά αρχημήδεια επίπεδα με την αντίστοιχη γεννήτρια.Σημειώστε οτι δεν είναι εντελώς μονότονα,δηλαδή d-μονότονα για κάθε <math>d\in\mathbb{N}</math> ή d-μονότονα για ορισμένες <math>\theta \in \Theta</math> μόνο.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
|+ Table with the most important Archimedean copulas<ref name="Nelsen 2006">{{Πρότυπο:Cite book|title=An Introduction to Copulas, Second Edition|last=Nelsen|first=R. B.|publisher=Springer Science+Business Media Inc.|year=2006|isbn=978-1-4419-2109-3|location=New York, NY 10013, USA}}</ref>
! Name of Copula
! Bivariate Copula <math>\;C_\theta(u,v)</math>
! parameter <math>\,\theta</math>
|-
| Ali-Mikhail-Haq<ref name="AMH">Ali, M.M., Mikhail, N.N. and Haq, M.S. (1978). </ref>
| <math>\frac{uv}{1-\theta (1-u)(1-v)}</math>
| <math>\theta\in[-1,1)</math>
|-
| Clayton<ref name="Clayton1978">{{Πρότυπο:Cite journal|title=A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence|last=Clayton|first=David G.|authorlink=David Clayton|journal=Biometrika|issue=1|doi=10.1093/biomet/65.1.141|year=1978|volume=65|pages=141–151|jstor=2335289}}</ref>
| <math>\left[ \max\left\{ u^{-\theta} + v^{-\theta} -1 ; 0 \right\} \right]^{-1/\theta}</math>
| <math>\theta\in[-1,\infty)\backslash\{0\}</math>
|-
| Frank
| <math>-\frac{1}{\theta} \log\!\left[ 1+\frac{(\exp(-\theta u)-1)(\exp(-\theta v)-1)}{\exp(-\theta)-1} \right]</math>
| <math>\theta\in \mathbb{R}\backslash\{0\} </math>
|-
| Gumbel
| <math display="inline">\exp\!\left[ -\left( (-\log(u))^\theta + (-\log(v))^\theta \right)^{1/\theta} \right]</math>
| <math>\theta\in[1,\infty)</math>
|-
| Independence
| <math display="inline">uv</math>
|-
| Joe
| <math display="inline">{1-\left[ (1-u)^\theta + (1-v)^\theta - (1-u)^\theta(1-v)^\theta \right]^{1/\theta}}</math>
| <math>\theta\in[1,\infty)</math>
|}
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
|+ Table of correspondingly most important generators<ref name="Nelsen 2006">{{Πρότυπο:Cite book|title=An Introduction to Copulas, Second Edition|last=Nelsen|first=R. B.|publisher=Springer Science+Business Media Inc.|year=2006|isbn=978-1-4419-2109-3|location=New York, NY 10013, USA}}</ref>
! name
! generator <math>\,\psi_{\theta}(t)</math>
! generator inverse <math>\,\psi_{\theta}^{-1}(t)</math>
|-
| Ali-Mikhail-Haq<ref name="AMH">Ali, M.M., Mikhail, N.N. and Haq, M.S. (1978). </ref>
| <math>\log\!\left[\frac{1-\theta (1-t)}{t}\right]</math>
| <math>\frac{1-\theta}{\exp(t)-\theta}</math>
|-
| Clayton<ref name="Clayton1978">{{Πρότυπο:Cite journal|title=A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence|last=Clayton|first=David G.|authorlink=David Clayton|journal=Biometrika|issue=1|doi=10.1093/biomet/65.1.141|year=1978|volume=65|pages=141–151|jstor=2335289}}</ref>
| <math>\frac{1}{\theta}\,(t^{-\theta}-1)\,</math>
| <math>\left(1+\theta t\right)^{-1/\theta}</math>
|-
| Frank
| <math display="inline">-\log\!\left(\frac{\exp(-\theta t)-1}{\exp(-\theta)-1}\right)</math>
| <math>-\frac{1}{\theta}\,\log(1+\exp(-t)(\exp(-\theta)-1))</math>
|-
| Gumbel
| <math>\left(-\log(t)\right)^\theta</math>
| <math>\exp\!\left(-t^{1/\theta}\right)</math>
|-
| Independence
| <math>-\log(t)\,</math>
| <math>\exp(-t)\,</math>
|-
| Joe
| <math>-\log\!\left(1-(1-t)^\theta\right)</math>
| <math>1-\left(1-\exp(-t)\right)^{1/\theta}</math>
|}
== Expectation for copula models and Monte Carlo integration ==
In statistical applications, many problems can be formulated in the following way. One is interested in the expectation of a response function <math>g:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}</math> applied to some random vector <math>(X_1,\dots,X_d)</math>.<ref>Alexander J. McNeil, Rudiger Frey and Paul Embrechts (2005) "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools", Princeton Series in Finance</ref> If we denote the cdf of this random vector with <math>H</math>, the quantity of interest can thus be written as
: <math> \mathbb{E} \left[ g(X_1,\dots,X_d) \right] = \int_{\mathbb{R}^d} g(x_1,\dots,x_d) \, dH(x_1,\dots,x_d).</math>
If <math>H</math> is given by a copula model, i.e.,
: <math>H(x_1,\dots,x_d)=C(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))</math>
this expectation can be rewritten as
: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d)) \, dC(u_1,\dots,u_d).</math>
In case the copula '''C''' is absolutely continuous, i.e. '''C''' has a density '''c''', this equation can be written as
: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d))\cdot c(u_1,\dots,u_d) \, du_1\dots du_d,</math>
and if each marginal distribution has the density <math>f_i</math> it holds further that
: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{\mathbb{R}^d}g(x_1,\dots x_d)\cdot c(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))\cdot f_1(x_1)\cdot ... \cdot f_d(x_d) \, dx_1\dots dx_d.</math>
If copula and margins are known (or if they have been estimated), this expectation can be approximated through the following Monte Carlo algorithm:
# Draw a sample <math>(U_1^k,\dots,U_d^k)\sim C\;\;(k=1,\dots,n)</math> of size '''n''' from the copula '''C'''
# By applying the inverse marginal cdf's, produce a sample of <math>(X_1,\dots,X_d)</math> by setting <math>(X_1^k,\dots,X_d^k)=(F_1^{-1}(U_1^k),\dots,F_d^{-1}(U_d^k))\sim H\;\;(k=1,\dots,n)</math>
# Approximate <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]</math> by its empirical value:
::: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]\approx \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g(X_1^k,\dots,X_d^k)</math>
== References ==
| |||