Κοπούλα (θεωρία πιθανοτήτων): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Copula (probability theory)" |
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Copula (probability theory)" |
||
Γραμμή 161:
Σε στατιστικές εφαρμογές, πολλά προβλήματα μπορούν να διατυπώνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Είναι ενδιαφέρονται για την προσδοκία της συνάρτησης απόκρισης <math>g:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}</math> εφαρμόζεται σε κάποιο τυχαίο διάνυσμα <math>(X_1,\dots,X_d)</math>.<ref>Alexander J. McNeil, Rudiger Frey and Paul Embrechts (2005) "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools", Princeton Series in Finance</ref> Αν συμβολίζουμε το cdf από αυτό το τυχαίο διάνυσμα με <math>H</math>, η ποσότητα του ενδιαφέροντος, μπορεί έτσι να γραφτεί ως
: <math> \mathbb{E} \left[ g(X_1,\dots,X_d) \right] = \int_{\mathbb{R}^d} g(x_1,\dots,x_d) \, dH(x_1,\dots,x_d).</math>
Αν <math>H</math> δίνεται από ένα επίπεδο πρότυπο, δηλαδή,
: <math>H(x_1,\dots,x_d)=C(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))</math>
η προσδοκία αυτή μπορεί να ξαναγραφεί ως
: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d)) \, dC(u_1,\dots,u_d).</math>
Σε περίπτωση που το επίπεδο '''C''' είναι απολύτως συνεχής, δηλαδή '''C''' έχει πυκνότητα '''c''', η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφτεί ως
: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d))\cdot c(u_1,\dots,u_d) \, du_1\dots du_d,</math>
και αν κάθε οριακή κατανομή έχει την πυκνότητα <math>f_i</math> που κατέχει περαιτέρω ότι
: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{\mathbb{R}^d}g(x_1,\dots x_d)\cdot c(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))\cdot f_1(x_1)\cdot ... \cdot f_d(x_d) \, dx_1\dots dx_d.</math>
Αν το επίπεδο και τα περιθώρια είναι γνωστά (ή αν έχουν κατ ' εκτίμηση), αυτή η προσδοκία μπορεί να προσεγγιστεί μέσα από το ακόλουθο Monte Carlo αλγόριθμος:
# Σχεδιάστε ένα δείγμα <math>(U_1^k,\dots,U_d^k)\sim C\;\;(k=1,\dots,n)</math> μεγέθους '''n''' από το επίπεδο '''C'''
# Εφαρμόζοντας το αντίστροφο οριακό cdf, παράγει ένα δείγμα <math>(X_1,\dots,X_d)</math> από τη ρύθμιση <math>(X_1^k,\dots,X_d^k)=(F_1^{-1}(U_1^k),\dots,F_d^{-1}(U_d^k))\sim H\;\;(k=1,\dots,n)</math>
# Κατά προσέγγιση <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]</math> από την εμπειρική τιμή:
::: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]\approx \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g(X_1^k,\dots,X_d^k)</math>
== Εμπειρική copulas ==
| |||