Αντιμεταθετική άλγεβρα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 25:
Για να είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος Noether αρκεί κάθε πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου να είναι πεπερασμένα παραγόμενο. (Το αποτέλεσμα προήλθε από τον [[I. S. Cohen.]])
Η έννοια του δακτύλιου Noether είναι θεμελιώδους σημασίας τόσο στην αντιμεταθετική, όσο και στην μη-αντιμεταθετική δακτύλια θεωρία, λόγω του ρόλου που διαδραματίζει στην απλούστευση της ιδανικής δομής για έναν δακτύλιο. Για παράδειγμα, ο δακτύλιος των [[Ακέραιος αριθμός|ακεραίων]] και ο [[πολυωνυμικός δακτύλιος]] πάνω από ένα [[Σώμα (άλγεβρα)|πεδίο]] είναι και οι δύο δακτύλιοι Noether, και κατά συνέπεια, θεωρήματα όπως το [[θεώρημα Lasker-Noether]], το [[θεώρημα τομής του Krull]], και το [[θεώρημα βάσης του Hilbert]] προέρχονται από αυτούς . Επιπλέον, αν ένας δακτύλιος είναι Noether, τότε ικανοποιεί την [[συνθήκη φθίνουσας αλυσίδας]] για τα [[πρώτα ιδεώδη]]. Αυτή η ιδιότητα, προτείνει μια βαθιά θεωρία της διάστασης για τους δακτύλιους Noether, έχοντας ως απαρχή την έννοια της [[διάστασης του Krull]].
=== Το βασικό θεώρημα του Hilbert === <blockquote class="">'''Θεώρημα.''' Αν ''R'' είναι ένας αριστερός [[Noether δακτύλιος,|Noether δακτύλιος]], τότε ο [[πολυωνυμικός δακτύλιος]] ''R''[''X''] είναι, επίσης, ένας αριστερός Noether δακτύλιος.</blockquote>Το βασικό θεώρημα του Hilbert έχει κάποια άμεσα πορίσματα:
# Με επαγωγή μπορούμε να δούμε ότι <math>R[X_0,\dotsc,X_{n-1}]</math> , επίσης, θα είναι Noether δακτύλιος.
| |||