Αντιμεταθετικός δακτύλιος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ένας δακτύλιος είναι ένα [[σύνολο]] R εφοδιασμένο με δύο [[Δυαδική πράξη|δυαδικές πράξειςπράξει]]<nowiki/>ς, δηλαδή πράξεις που συνδυάζουν δύο οποιαδήποτε στοιχεία του δακτυλίου με ένα τρίτο. Ονομάζονται ''πρόσθεση'' και ''πολλαπλασιασμός'' και συνήθως συμβολίζονται με <nowiki>''</nowiki>+<nowiki>''</nowiki> και <nowiki>''</nowiki>•<nowiki>''</nowiki>. π.χ. ''α+β'' και ''α•β.'' Για το σχηματισμό του δακτυλίου αυτές οι δύο πράξεις πρέπει να ικανοποιούν κάποιες από προϋποθέσεις: ο δακτύλιος πρέπει να είναι μία [[αβελιανή ομάδα]] με πράξη τη συνήθη πρόσθεση και ταυτόχρονα ένα [[Ομάδα|μονοειδές]] με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Για τον πολλαπλασιασμό ισχύει η [[αντιμεταθετική ιδιότητα]] δηλ. ''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' ⋅ ''b'') + (''a'' ⋅ ''c''). Τα ταυτοτητικά στοιχεία για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό συμβολίζονται με 0 και 1 αντίστοιχα.

Ένα σημαντικό παράδειγμα, και κατά μία έννοια κρίσιμο, είναι ο [[Δακτύλιος ακεραίων|δακτύλιος των ακεραίων]] '''Ζ''' με τις δύο πράξεις: της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Εφόσον ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων είναι αντιμεταθετική πράξη, συνεπώς ο δακτύλιος των ακεραίων είναι αντιμεταθετικός. Συνήθως συμβολίζεται με '''Ζ''' ως συντομογραφία της [[Γερμανική γλώσσα|Γερμανικής]] λέξης ''Zahlen''  (αριθμοί)

Ένα πεδίο[[Σώμα Αριθμών|σώμα]] είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος όταν όλα τα [[0 (αριθμός)|μη-μηδενικά]] στοιχεία του ''a'' είναι αντιστρέψιμα, δηλ. αν το στοιχείο a έχει έναν αντίστροφο b έτσι ώστε ''a'' ⋅ ''b'' = 1. Επομένως, εξ ορισμού κάθε πεδίο είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος. Οι [[Ρητός αριθμός|ρητοί]], οι [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικοί]] και οι [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικοί αριθμοί]] διαμορφώνουν πεδία.

Ωστόσο, οι διαγωνοποιήσιμοι πίνακες που μπορούν να [[ΔιαγωνοποίησηΓραμμική άλγεβρα|διαγωνοποιηθούν]] με τον ίδιο μετασχηματισμό ομοιότητας αποτελούν ένα ανιμεταθετικό δακτύλιο. Ένα παράδειγμα είναι το σύνολο των πινάκων των διαιρούμενων διαφορών που συνδέονται με ένα σταθερό σύνολο κόμβων .