Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
[[Αρχείο:From_Continuous_To_Discrete_Fourier_Transform.gif|μικρογραφία|400x400εσ|Σχέση μεταξύ του (συνεχούς) [[Μετασχηματισμός Φουριέ|μετασχηματισμού Fourier]] και του διακριτού μετασχηματισμού Fourier. <u>Αριστερή στήλη:</u> μία συνεχής συνάρτηση (επάνω) και ο μετασχηματισμός της σε Fourier (κάτω). <u>Κέντρο-αριστερή στήλη:</u> Περιοδική άθροιση της αρχικής συνάρτησης (κορυφή). Μετασχηματισμός Fourier (κάτω μέρος) είναι μηδέν εκτός από τα διακριτά σημεία. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι ένα άθροισμα ημιτονοειδών και ονομάζεται [[Σειρές Φουριέ|σειρά Fourier]]. <u>Κέντρο-δεξιά στήλη:</u> Η αρχική συνάρτηση διακριτοποιείται (πολλαπλασιάζεται με το [[Dirac comb]] ) (κορυφή). O μετασχηματισμός της σε Fourier (κάτω μέρος) είναι μια περιοδική άθροιση (DTFT: Διακριτού-χρόνου μετασχηματισμό Fourier ) του αρχικού μετασχηματισμού της. <u>Δεξιά στήλη:</u> Το DFT(Διακριτός μετασχηματισμός Fourier) (κάτω) υπολογίζει διακριτά δείγματα της συνεχούς DTFT. Ο αντίστροφος DFT (κορυφή) είναι περιοδική άθροιση των αρχικών δειγμάτων. O FFT(γρήγορος μετασχηματισμός Fourier) αλγόριθμος υπολογίζει έναν κύκλο του DFT και το αντίστροφο του είναι ένας κύκλος του αντίστροφου DFT.]]
[[Αρχείο:Fourier_transform,_Fourier_series,_DTFT,_DFT.gif|μικρογραφία|400x400εσ|Η Απεικόνιση ενός μετασχηματισμού Fourier (πάνω αριστερά) και η περιοδική του άθροιση (DTFT) στην κάτω αριστερή γωνία. Οι φασματικές ακολουθίες (a) επάνω δεξιά και (b) κάτω δεξιά, αντίστοιχα, υπολογίζονται από την (α) ένα κύκλο του περιοδικού αθροίσματος s(t) και (β) ένα κύκλο του περιοδικού αθροίσματος της s(nT) ακολουθίας. Οι αντίστοιχοι τύποι είναι (α) το <u title="Σειρές Φουριέ" href="Σειρές Φουριέ">ολοκλήρωμα</u> της [[Σειρές Φουριέ|σ]]<nowiki/>[[Σειρές Φουριέ|ειρά Fourier]] και (β) του '''DFT''' (διακριτός μετασχηματισμός FourieFourier) <u>άθροιση</u>. Οι ομοιότητες με το αρχικό μετασχηματισμό, S(f), και η σχετική υπολογιστική ευκολία είναι συχνά το κίνητρο για τον υπολογισμό μιας DFT ακολουθίας.]]
Στα [[μαθηματικά]], ο '''διακριτός μετασχηματισμός Fourier''' ('''DFT''') μετατρέπει μια πεπερασμένη ακολουθία από ίσα διαστήματα [[Δειγματοληψία σήματος|δειγμάτων]] από μια [[συνάρτηση]] σε μία λίστα με [[Συντελεστής|συντελεστές]] από ένα πεπερασμένο συνδυασμό ημιτονοειδών [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]], καθορισμένων από τις [[Συχνότητα|συχνότητες]] τους, που έχει τις ίδιες τιμές δείγματος. Αυτό μπορεί να ειπωθεί για τη μετατροπή του δείγματος της συνάρτησης από το αρχικό του πεδίο ορισμού (συχνά το χρόνο ή τη θέση κατά μήκος της γραμμής) στο πεδίο της συχνότητας.
 
Ο DFT είναι ο πιο σημαντικός διακριτός μετασχηματισμός, που χρησιμοποιείται για να εκτελέσει [[Ανάλυση Φουριέ|την ανάλυση Fourier]] σε πολλές πρακτικές εφαρμογές.<ref>{{Πρότυπο:Cite journal|url=http://www.jstor.org/stable/29775194|title=Wavelets|last=Strang|first=Gilbert|date=May–June 1994|journal=American Scientist|accessdate=8 October 2013|issue=3|volume=82|page=253|quote=This is the most important numerical algorithm of our lifetime...}}</ref> Στην [[ψηφιακή επεξεργασία σήματος]], η συνάρτηση είναι οποιαδήποτε ποσότητα ή [[Ηλεκτρικό σήμα|σήμα]] που ποικίλει με την πάροδο του χρόνου, όπως η πίεση των [[Ήχος|ηχητικών κυμάτων]], ένα σήμα ραδιοφώνου ή ημερήσιες μετρήσεις της [[θερμοκρασία|θερμοκρασίας]], δειγματοληψίες πάνω από ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα (συνήθως ορίζεται από μία συνάρτηση παραθύρου<ref>{{Πρότυπο:Cite journal|url=http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=6387265&isnumber=6380557|title=A Novel Windowing Technique for Efficient Computation of MFCC for Speaker Recognition|last=Sahidullah|first=Md.|date=Feb 2013|journal=IEEE Signal Processing Letters|issue=2|doi=10.1109/LSP.2012.2235067|volume=20|pages=149–152|arxiv=1206.2437|bibcode=2013ISPL...20..149S|author2=Saha, Goutam}}</ref>). Στην [[επεξεργασία εικόνας]], τα δείγματα μπορεί να είναι οι τιμές των [[Εικονοστοιχείο|pixels]] κατά μήκος της γραμμής ή της στήλης των εικόνων raster. Ο DFT , επίσης, χρησιμοποιείται για την αποτελεσματική επίλυση [[Μερική διαφορική εξίσωση|μερικών διαφορικών εξισώσεων]], και για να εκτελέσει άλλες ενέργειες, όπως ο [[Συνέλιξη|συσχετισμός συναρτήσεων]] ή ο πολλαπλασιασμός μεγάλων ακεραίων.
 
Δεδομένου ότι πρόκειται για ένα πεπερασμένο ποσό των δεδομένων, μπορεί να εφαρμοστεί σε [[Ηλεκτρονικός υπολογιστής|υπολογιστές]] με [[Αριθμητική ανάλυση|αριθμητικήαριθμητικούς αλγόριθμοιαλγόριθμους]] ή ακόμα και dedicatedμε ειδικά [[Ψηφιακά ηλεκτρονικά|hardwareυλικά]]. Αυτές οι εφαρμογές συνήθως χρησιμοποιούν αποτελεσματικήαποτελεσματικά fastτον Fourierγρήγορο transformμετασχηματισμό Fourier (FFT) αλγόριθμοισε αλγορίθμους;<ref name="colley">Cooley et al., 1969</ref> τόσο πολύ, που οι όροι "FFT" και "DFT" συχνά χρησιμοποιούνται εναλλακτικά. Πριν από την τρέχουσα χρήση, το "FFT" [[Αρκτικόλεξο|initialism]] μπορεί επίσης να έχει χρησιμοποιηθεί για τηντον ασαφήςασαφή όροςόρο "πεπερασμένος μετασχηματισμός Fourier".
 
== Ορισμός ==
Η [[ακολουθία]] των ''N'' [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικοίμιγαδικών αριθμοίαριθμών]] <math>x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}</math> μετατρέπεται σε έναμία ''N''-περιοδική ακολουθία μιγαδικών αριθμών:
 
Λόγω της περιοδικότητας, το σύνηθες τομέαπεδίο ορισμού της '''k''' υπολογίσειυπολογίζεται ότι είναι το [''0'',&#x20;''N''&#x20;−&#x20;1]. Αυτή είναι πάντα η περίπτωση, όταν ο DFT υλοποιείται μέσω του Fast Fourier transform (fft αλγόριθμο. Αλλά και άλλες κοινές περιοχές είναι &#x20;το[−''N''/2,&#x20;''N''/2&#x20;−&#x20;1]&#x20; (''N'' ) &#x20;και &#x20;[−(''N''&#x20;−&#x20;1)/2,&#x20;(''N''&#x20;−&#x20;1)/2]&#x20; (''N'' περιττός), όπως όταν το αριστερό και το δεξί ήμισυ ενός FFT παραγωγή ακολουθία αντάλλαξαν.<ref>{{Πρότυπο:Cite web|url=http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/fftshift.html|title=Shift zero-frequency component to center of spectrum – MATLAB fftshift|publisher=The MathWorks, Inc.|location=Natick, MA 01760|accessdate=10 March 2014|work=http://www.mathworks.com/}}</ref>
 
Ο μετασχηματισμός είναι μερικές φορές συμβολίζεται με το σύμβολο <math>\mathcal{F}</math>, όπως και <math>\mathbf{X} = \mathcal{F} \left \{ \mathbf{x} \right \} </math> ή <math>\mathcal{F} \left ( \mathbf{x} \right )</math> ή <math>\mathcal{F} \mathbf{x}</math>.<ref group="note">As a [[Γραμμικός μετασχηματισμός|linear transformation]] on a finite-dimensional vector space, the DFT expression can also be written in terms of a DFT matrix; when scaled appropriately it becomes a unitary matrix and the ''X''<sub>''k''</sub> can thus be viewed as coefficients of ''x'' in an orthonormal basis.</ref>
13

επεξεργασίες