|
Έπεται ότι τα ''X''<sub>''0''</sub> και ''X''<sub>''N/2''</sub> είναι πραγματικοί αριθμοί , και το υπόλοιπο του DFT είναι εντελώς καθορισμένο από ακριβώς ''N/2-1'' μιγαδικούς αριθμούς.
== ΓενικευμένηΓενικευμένος DFT (μετατοπιστείμετατοπισμένη και μη-γραμμική φάση) ==
Είναι δυνατό να μετατοπίσει την μετατρέψει δειγματοληψία μετασχηματισμού στο χρόνο και/ή συχνοτήτωνστο απόπεδίο συχνοτήτων κάποιακάποιες πραγματικήπραγματικές βάρδιεςμετατοπίσεις ''α'' και ''β'', αντίστοιχα. Αυτό είναι μερικές φορές γνωστό ως μιαένας '''γενικευμένηγενικευμένος DFT''' (ή '''GDFT'''), που ονομάζεται επίσης το '''μετατοπιστείμετατοπισμένος DFT''' ή '''όφσετ DFT''', και έχει ανάλογες ιδιότητες με το συνηθισμένο DFT:
: <math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2 \pi i}{N} (k+b) (n+a)} \quad \quad k = 0, \dots, N-1.</math>
Πιο συχνά,χρησιμοποιούνται μετατοπίσεις <math>1/2</math> (μισό δείγμα).Ενώ ο συνήθης DFT αντιστοιχεί σε ένα περιοδικό σήμα τόσο σε χρόνο όσο και στο πεδίο συχνοτήτων , για <math>a=1/2</math> παράγει ένα σήμα που είναι αντι-περιοδικό στο πεδίο της συχνότητας (<math>X_{k+N} = - X_k</math>) και αντίστροφα, για <math>b=1/2</math>.Έτσι, η συγκεκριμένη περίπτωση <math>a = b = 1/2</math> είναι γνωστή ως ένας ''περίεργου χρόνου περίεργης συχνότητας'' διακριτός μετασχηματισμός Fourier (ή O<sup>2</sup>DFT).Έτσι οι μετατοπίσεις μετασχηματισμών χρησιμοποιούνται πιο συχνά για συμμετρικά δεδομένα, για να αντιπροσωπεύουν διαφορετικών ορίων συμμετρίες και για πραγματικά συμμετρικά δεδομένα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές μορφές του διακριτού μετασχηματισμού συνημιτόνου και ημιτόνου.
Πιο συχνά, βάρδιες <math>1/2</math> (μισό δείγμα).
Ενώ η συνήθης DFT αντιστοιχεί σε ένα περιοδικό σήμα τόσο σε χρόνο όσο και η συχνότητα τομείς, <math>a=1/2</math> παράγει ένα σήμα που είναι αντι-περιοδική στο πεδίο της συχνότητας (<math>X_{k+N} = - X_k</math>) και αντίστροφα, για <math>b=1/2</math>.
Έτσι, η συγκεκριμένη περίπτωση <math>a = b = 1/2</math> είναι γνωστό ως ένα ''περίεργο χρόνο περίεργο συχνότητας,'' διακριτός μετασχηματισμός Fourier (ή O<sup>2</sup>DFT).
Τόσο μετατοπίζεται μετασχηματίζει είναι πιο συχνά χρησιμοποιείται για συμμετρική δεδομένα, για να αντιπροσωπεύουν διαφορετικά όρια συμμετρίες, και για το πραγματικό συμμετρικό δεδομένων που αντιστοιχούν σε διαφορετικές μορφές του διακριτού συνημιτόνου και ημιτόνου μεταμορφώνει.
Μια άλλη ενδιαφέρουσα επιλογή είναι <math>a=b=-(N-1)/2</math>, η οποία ονομάζεται '''επίκεντρο DFT''' (ή '''CDFT'''). Το επίκεντρο DFT έχει την χρήσιμη ιδιότητα ότι, όταν το ''N'' είναι πολλαπλάσιο του τέσσερα,και τα τέσσερα απόοι τατέσσερις ιδιοτιμές του (βλ. παραπάνω) έχουν ίσες οι πολλαπλότητες (Rubio και Santhanam, 2005)<ref>Santhanam, Balu; Santhanam, Thalanayar S. [http://thamakau.usc.edu/Proceedings/ICASSP%202007/pdfs/0301385.pdf "''Discrete Gauss-Hermite functions and eigenvectors of the centered discrete Fourier transform''"], Proceedings of the 32nd IEEE ''International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing'' (ICASSP 2007, SPTM-P12.4), vol. </ref>
Ο όρος GDFT χρησιμοποιείται επίσης για τη μη-γραμμική φάση των επεκτάσεων του DFT. Ως εκ τούτου,η GDFT μέθοδος παρέχει μια γενίκευση για σταθερόσταθερού πλάτοςπλάτους ορθογώνιαορθογώνιους μπλοκμετασχηματισμούς μετατρέπειμπλοκ συμπεριλαμβανομένων γραμμικήτων γραμμικών και μη-γραμμικήγραμμικών φάσητύπων τύπουςφάσης.Το GDFT είναι ένα πλαίσιο για τη βελτίωση των ιδιοτήτων του χρόνου και του πεδίου της συχνότητας του παραδοσιακού DFT, π. χ. αυτόματη/διασταύρωση-συσχέτιση, με την προσθήκη της κατάλληλα σχεδιασμένης λειτουργίας μορφοποίησης φάσης (μη-γραμμική, σε γενικές γραμμές) στις αρχικές λειτουργίες γραμμικής φάσης (Akansu και Agirman-Tosun, 2010).η<ref>Akansu, Ali N.; Agirman-Tosun, Handan
για τη βελτίωση του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας ιδιότητες της παραδοσιακής DFT, π. χ. auto/cross-συσχετίσεων, με την προσθήκη των σχεδιαστεί σωστά φάσης που διαμορφώνει τη λειτουργία του (μη-γραμμική, σε γενικές γραμμές) με την αρχική γραμμική φάση λειτουργίες (Akansu και Agirman-Tosun, 2010).<ref>Akansu, Ali N.; Agirman-Tosun, Handan
[http://web.njit.edu/~akansu/PAPERS/AkansuIEEE-TSP2010.pdf "''Generalized Discrete Fourier Transform With Nonlinear Phase''"], IEEE ''Transactions on Signal Processing'', vol. 58, no. 9, pp. 4547-4556, Sept. 2010.</ref>
Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση του z-μετασχηματισμού, αξιολογούνταιμε στητιμές μονάδαστον κύκλομοναδιαίο στοκύκλο μιγαδικότου επίπεδο,μιγαδικού περισσότερεςεπιπέδου.Περισσότερο γενικήγενικοί z-μετασχηματισμώνμετασχηματισμοί αντιστοιχούν σεστις ''συγκρότημα''μετατοπίσεις βάρδιεςμιγαδικών ''α'' και ''β'' ανωτέρω.
== ΠολυδιάστατηΠολυδιάστατος DFT ==
Το συνηθισμένο DFT μετατρέπει μια μονοδιάστατη ακολουθία ή [[Πίνακας (μαθηματικά)|σειρά]] <math>x_n</math> που είναι μια λειτουργίασυνάρτηση με ακριβώς μία διακριτή μεταβλητή ''n''. ΗΟ πολυδιάστατηπολυδιάστατος DFT ενός πολυδιάστατου πίνακα <math>x_{n_1, n_2, \dots, n_d}</math> που είναι συνάρτηση των ''d'' διακριτέςδιακριτών κεταβλητέςκεταβλητών <math>n_\ell = 0, 1, \dots, N_\ell-1</math> για <math>\ell</math> σε <math>1, 2, \dots, d</math> , ορίζεται από:
: <math>X_{k_1, k_2, \dots, k_d} = \sum_{n_1=0}^{N_1-1} \left(\omega_{N_1}^{~k_1 n_1} \sum_{n_2=0}^{N_2-1} \left( \omega_{N_2}^{~k_2 n_2} \cdots \sum_{n_d=0}^{N_d-1} \omega_{N_d}^{~k_d n_d}\cdot x_{n_1, n_2, \dots, n_d} \right) \right) \, , </math>
όπου <math>\omega_{N_\ell} = \exp(-2\pi i/N_\ell)</math> ως ανωτέρω και το ''δ'' παραγωγήδείκτες δεικτώνεξόδου με τρέξιμοτιμές από <math>k_\ell = 0, 1, \dots, N_\ell-1</math>. Αυτό είναι πιο συμπαγώς εκφράζεταιεκφράσμένο σε [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματική]] μορφή, όπου ορίζουμε <math>\mathbf{n} = (n_1, n_2, \dots, n_d)</math> και <math>\mathbf{k} = (k_1, k_2, \dots, k_d)</math> ως ''d''-διαστάσεων διανύσματαδιανύσματατα των δεικτών από το 0 μέχρι <math>\mathbf{N} - 1</math>, το οποίο ορίζουμε ως <math>\mathbf{N} - 1 = (N_1 - 1, N_2 - 1, \dots, N_d - 1)</math>:
: <math>X_\mathbf{k} = \sum_{\mathbf{n}=\mathbf{0}}^{\mathbf{N}-1} e^{-2\pi i \mathbf{k} \cdot (\mathbf{n} / \mathbf{N})} x_\mathbf{n} \, ,</math>
όπου η διαίρεση <math>\mathbf{n} / \mathbf{N}</math> ορίζεται ως <math>\mathbf{n} / \mathbf{N} = (n_1/N_1, \dots, n_d/N_d)</math> να είναι ο μετασχηματισμός φουριέ, και το άθροισμα υποδηλώνειεκφράζει το σύνολο των ένθετων αθροίσειςαθροίσεων παραπάνω.
Το αντίστροφο του πολυδιάστατου DFT είναι, ανάλογηανάλογα με την μονοδιάστατη περίπτωση, δίνεται από:
: <math>x_\mathbf{n} = \frac{1}{\prod_{\ell=1}^d N_\ell} \sum_{\mathbf{k}=\mathbf{0}}^{\mathbf{N}-1} e^{2\pi i \mathbf{n} \cdot (\mathbf{k} / \mathbf{N})} X_\mathbf{k} \, .</math>
Όπως ηο μονοδιάστατημονοδιάστατος DFT εκφράζει την εισαγωγήτιμή εισόδου <math>x_n</math> ως υπέρθεση των ημιτονοειδών, ηο πολυδιάστατηπολυδιάστατος DFT εκφράζει την εισαγωγήτιμή εισόδου ως επαλληλίαυπέρθεση τουτων αεροπλάνοεπίπεδων κύματακυμάτων, ή πολυδιάστατηπολυδιάστατα ημιτονοειδώνημιτονοειδή. ΤηνΗ κατεύθυνση της ταλάντωσης στο χώρο είναι <math>\mathbf{k} / \mathbf{N}</math>. ΗΤα πλάτη είναι <math>X_\mathbf{k}</math>. Αυτή η αποσύνθεση είναι μεγάλης σημασίας για τα πάντα, από την ψηφιακή επεξεργασία εικόνας (δύο διαστάσεων) γιαως την επίλυση [[Μερική διαφορική εξίσωση|μερικών διαφορικών εξισώσεων]]. ΤοΗ διάλυμαλύση χωρίζεται σε επίπεδα κύματα.
ΗΟ πολυδιάστατηπολυδιάστατος DFT μπορεί να υπολογιστεί από την [[Σύνθεση συνάρτησης|σύνθεση]] τηςμιας ακολουθίας μονοδιάστατημονοδιάστατων DFTs κατά μήκος κάθε διάστασηδιάστασης. Στη δισδιάστατη περίπτωση <math>x_{n_1,n_2}</math> η <math>N_1</math> ανεξάρτητηανεξαρτήτως DFTs των σειρών (δηλ., κατά μήκος <math>n_2</math>), υπολογίζονταιυπολογίζεται πρώτα για να σχηματίσουνσχηματίσει έναέναν νέο πίνακα <math>y_{n_1,k_2}</math>. Στη συνέχεια, η <math>N_2</math> ανεξάρτητηανεξαρτήτως DFTs του ''y'' κατά μήκος των στηλών (κατά μήκος <math>n_1</math>) υπολογίζονταιυπολογίζεται για να διαμορφώσει το τελικό αποτέλεσμα <math>X_{k_1,k_2}</math>. Εναλλακτικά, οι στήλες μπορεί να υπολογιστείυπολογιστούν πρώτα και στη συνέχεια τωνοι σειρώνσειρές. Η σειρά δεν έχει σημασία, επειδή ταοι ένθεταένθετες αθροίσεις παραπάνω [[Αντιμεταθετική ιδιότητα|μετακίνησηαντιμετατίθενται.]].
Ένας αλγόριθμος για νατον υπολογίσειυπολογισμό μιαενός μονοδιάστατημονοδιάστατου DFT είναι συνεπώς επαρκές για τηντον αποτελεσματικήαποτελεσματικό υπολογίσειυπολογισμό μιαενός πολυδιάστατηπολυδιάστατου DFT. Αυτή η προσέγγιση είναι γνωστή ως ''αλγόριθμος γραμμή-στήλη'' αλγόριθμο. Υπάρχουν επίσης εγγενώς πολυδιάστατη[[Ταχείς Μετασχηματισμοί Φουριέ|πολυδιάστατοι FFT αλγόριθμοι]].
=== Το πραγματικό εισαγωγής πολυδιάστατη DFT ===
| 