* Οι δακτύλιοι των [[Αλγεβρικός ακέραιος|αλγεβρικών ακεραίων]].
== Συνδέσεις με την αλγεβρική γεωμετρία ==
Η αντιμεταθετική άλγεβρα (με τη μορφή [[πολυωνυμικών δακτυλίων]] και των συντελεστών τους, που χρησιμοποιούνται στον ορισμό των [[αλγεβρικών πολλαπλοτήτων]]) ήταν πάντα ένα μέρος της [[Αλγεβρική γεωμετρία|αλγεβρικής γεωμετρία]]<nowiki/>ς]]. Ωστόσο, στα τέλη της δεκαετίας του 1950, οι αλγεβρικές πολλαπλότητες ήταν ενταγμένες στην έννοια του [[συστήματος]] του [[Αλεξάντερ Γκρότεντικ|Alexander Grothendieck]]. Τα τοπικά αντικείμενα είναι αφφινικά συστήματα ή φάσματα τα οποία είναι τοπικοί δακτύλιοι χώροι που αποτελούν μια κατηγορία, η οποία είναι μη ισοδύναμη (δυαδική) για την κατηγορία των αντιμεταθετικών μοναδιαίων δακτυλίων, για την επέκταση της [[δυαδικότητας]] μεταξύ της κατηγορίας των αφφινικών αλγεβρικών πολλαπλοτήτων πάνω από ένα πεδίο ''k'', και την κατηγορία των πεπερασμένων παραγόμενων μειωμένων ''k''-αλγεβρών. Η σύνδεση βρίσκεται στην Zariski τοπολογία, όπου κάποιος μπορεί να την ενσωματώσει στην κατηγορία των τοπικών δακτυλιακών χώρων, αλλά επίσης η χρήση της Yoneda ενσωμάτωσης, κατά την πιο αφηρημένη κατηγορία αλυσίδων των συνόλων πάνω από την κατηγορία των αφφινικών συστημάτων. Η Zariski τοπολογία ως θεωρητική έννοια, στη συνέχεια αντικαταστήθηκε από την Zariski τοπολογία, με την έννοια της [[τοπολογίας Grothendieck]]. Ο Grothendieck εισήγαγε τις Grothendieck τοπολογίες έχοντας κατά νου πιο εξωτικά, αλλά γεωμετρικά λεπτότερα και πιο ευαίσθητα παραδείγματα από την ακατέργαστη Zariski τοπολογία, δηλαδή την [[étale τοπολογία]], και τις δύο επίπεδες Grothendieck τοπολογίες: fppf και fpqc, σήμερα κάποια άλλα παραδείγματα διέπρεψαν συμπεριλαμβανομένων της [[Nisnevich τοπολογίας]]. Οι αλυσίδες μπορεί να είναι επιπλέον γενικευμένες σε στοίβες κατά την έννοια του Grothendieck, συνήθως με κάποιες επιπλέον αντιπροσωπευτικές συνθήκες που οδηγούν σε Artin στοίβες και, ακόμα πιο συγκεκριμένα, σε [[Deligne-Mumford στοίβες]], και οι δύο συχνά ονομάζονται αλγεβρικές στοίβες.
