Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
Η [[ακολουθία]] των ''N'' [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]] <math>x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}</math> μετατρέπεται σε μία ''N''-περιοδική ακολουθία μιγαδικών αριθμών:
 
Λόγω της περιοδικότητας, το σύνηθες πεδίο ορισμού της '''k''' υπολογίζεται ότι είναι το [''0'',&#x20;''N''&#x20;−&#x20;1]. Αυτή είναι πάντα η περίπτωση ισχύει πάντα, όταν ο DFT υλοποιείται μέσω του Fastαλγόριθμου Fourierγια transformτον (fftγρήγορα αλγόριθμομετασχηματισμό Fourier(FFT). Αλλά και άλλες κοινές περιοχές είναι &#x20;το [−''N''/2,&#x20;''N''/2&#x20;−&#x20;1]&#x20; (''N άρτιος'' ) &#x20;και &#x20;[−(''N''&#x20;−&#x20;1)/2,&#x20;(''N''&#x20;−&#x20;1)/2]&#x20; (''N'' περιττός), όπως όταν το αριστερό και το δεξί ήμισυ ενός FFT παραγωγήως αποτέλεσμα μιας ακολουθίας ακολουθίαέχουν αντάλλαξανανταλλαχθεί.<ref>{{Πρότυπο:Cite web|url=http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/fftshift.html|title=Shift zero-frequency component to center of spectrum – MATLAB fftshift|publisher=The MathWorks, Inc.|location=Natick, MA 01760|accessdate=10 March 2014|work=http://www.mathworks.com/}}</ref>
 
Ο μετασχηματισμός είναι μερικές φορές συμβολίζεται με το σύμβολο <math>\mathcal{F}</math>, όπως και <math>\mathbf{X} = \mathcal{F} \left \{ \mathbf{x} \right \} </math> ή <math>\mathcal{F} \left ( \mathbf{x} \right )</math> ή <math>\mathcal{F} \mathbf{x}</math>.<ref group="note">As a [[Γραμμικός μετασχηματισμός|linear transformation]] on a finite-dimensional vector space, the DFT expression can also be written in terms of a DFT matrix; when scaled appropriately it becomes a unitary matrix and the ''X''<sub>''k''</sub> can thus be viewed as coefficients of ''x'' in an orthonormal basis.</ref>
 
{{Πρότυπο:EquationNote|Eq.1}} μπορεί να ερμηνευθεί ή παράγωγανα περιγραφεί με διάφορους τρόπους, για παράδειγμα:
* ΕντελώςΠεριγράφει περιγράφειπλήρως τηντον διακριτού χρόνου μετασχηματισμόςμετασχηματισμό Fourier (DTFT) τηςμιας ''N''-περιοδικήπεριοδικής ακολουθίαακολουθίας, η οποία περιλαμβάνει μόνο στοιχεία με διακριτή συχνότητα στοιχεία. (Χρησιμοποιώντας τον DTFT με περιοδικήπεριοδικά δεδομένωνδεδομένα)
* Μπορεί επίσης να παρέχει ομοιόμορφα κατανεμημένεςκατανεμημένα δείγματα της συνεχούς DTFT ενόςμιας πεπερασμένου μήκους ακολουθία. (Δειγματοληψία του DTFT)
* Είναι οη σταυρόςοριζόντια συσχέτιση της ''εισαγωγήςεισαγώμενης'' ακολουθίαακολουθίας ''x<sub>n</sub>'', και έναμία συγκρότημαμιγαδικά ημιτονοειδής στη συχνότητα ''k''/''N''. &#x20;Έτσι λειτουργεί σαν ένα matchedπροσαρμοσμένο filterφίλτρο για αυτή τη συχνότητα.
* Είναι τομία διακριτόδιακριτή αναλογία του τύπου για τους συντελεστές της [[Σειρές Φουριέ|σειράς Fourier]]:
: τοη οποίο είναι, επίσης, '''N'''-περιοδική. ΣτονΓια τομέαπεδίο ορισμού&#x20;<math>\scriptstyle n\ \in\ [0,\ N-1],</math>&#x20; αυτό είναι τοο '''αντίστροφοαντίστροφος μετασχηματισμόμετασχηματισμός''' του {{Πρότυπο:EquationNote|Eq.1}}. Σε αυτή την ερμηνεία, το καθένακάθε <math>X_k</math> είναι ένας μιγαδικός αριθμός που κωδικοποιεί τόσοκαι το εύρος και τη φάση του μια ημιτονοειδή συνιστώσα &#x20;<math>(e^{2 \pi i k n / N})</math>&#x20; της λειτουργίαςσυνάρτησης <math>x_n.</math> ΤουΗ ημιτονοειδής είναι [[Συχνότητα|η συχνότητα]] είναι ''k'' κύκλους ανά ''N'' δείγματα.&#x20; Το εύρος της και η φάση της είναι:
 
:: <math>|X_k|/N = \sqrt{\operatorname{Re}(X_k)^2 + \operatorname{Im}(X_k)^2}/N</math>
13

επεξεργασίες