:: <math>\arg(X_k) = \operatorname{atan2}\big( \operatorname{Im}(X_k), \operatorname{Re}(X_k) \big)=-i\operatorname{ln}\left(\frac{X_k}{|X_k|}\right),</math>
: πού atan2 είναι τα δύο επιχείρημαμία μορφή της arctan λειτουργίασυνάρτησης.
ΗΟ κανονικοποίησηομαλός παράγονταςπολλαπλασιασμός πολλαπλασιασμούτων συντελεστών του DFT και IDFT (εδώ το 1 και 1/''N'') και τα σημείασύμβολα των εκθέτεςεκθετών είναι απλώς συμβάσεις, και διαφέρουν σε ορισμένες θεραπείεςχρήσεις. ΤοΟι μόνομόνες απαιτήσεις αυτών των συμβάσεων είναι ότι ο DFT και IDFT έχουν αντίθετο-σημάδισύμβολα στους εκθέτες και ότι το προϊόναποτέλεσμα τουςαπό παράγοντεςτην ομαλοποίηση των συντελεστών τους κανονικοποίησης είναι 1/''N''.  Μια εξομάλυνσηομαλοποίηση της <math>\scriptstyle \sqrt{1/N}</math> τόσο για τον DFT όσο και για τον IDFT, για παράδειγμα, κάνει τοτον μετατρέπειμετασχηματισμό ενιαίαμοναδικό.
Στη συζήτηση που ακολουθεί οι όροι "ακολουθία" και "διάνυσμα" θα θεωρούνται εναλλάξιμαεναλλάξιμoi.
Χρησιμοποιώντας τητον [[Τύπος του Όιλερ|φόρμουλατύπο του Euler]], ο DFT γιατύπος βρέφη μπορούνμπορεί να μετατραπούνμετατραπεί σε τριγωνομετρικές μορφές που μερικές φορές χρησιμοποιείται στη μηχανική και την επιστήμη των υπολογιστών:
'''Μετασχηματισμός Fourier:'''
'''Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier:'''
'''Inverse Fourier Transform:'''
:: '''N''' = αριθμός φοράτων δείγματαδείγματων που έχουμε
:: '''n''' = το τρέχον δείγμα που εξετάζουμε (0, ..., ''N'' − 1)
:: '''x<sub>n</sub>''' = αξία του σήματοςσυμβόλου στο χρόνο n
:: '''k''' = τρέχουσα συχνότητα που εξετάζουμε (0 Hertz έως N-1 Hertz)
:: '''X<sub>k</sub>''' = ποσό της συχνότητας k στο σήμασύμβολο (το Πλάτοςεύρος και τη Φάσηφάση, ένας μιγαδικός αριθμός)
== Ιδιότητες ==
Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier είναι ένας αντιστρέψιμος, [[γραμμικός μετασχηματισμός]]
: <math>\mathcal{F}\colon\mathbb{C}^N \to \mathbb{C}^N</math>
με το <math>\mathbb{C}</math> που υποδηλώνεισημαίνει το σύνολο των [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]]. Με άλλα λόγια, για κάθε ''N'' > 0, ένα ''N''-διαστάσεων, συγκρότημαμιγαδικό διάνυσμα έχει ένα DFT και IDFT τα οποία είναι με τη σειρά τους ''N''-διαστάσεων, συγκρότημαμιγαδικά φορείςδiανύσματα.
=== Καθετότητα ===
Τα διανύσματα <math>u_k=\left[ e^{ \frac{2\pi i}{N} kn} \;|\; n=0,1,\ldots,N-1 \right]^T</math>
σχηματίζουν μια ορθογώνια βάση πάνω από το σύνολο των ''N''-διαστάσεων, συγκρότημαμιγαδικών φορείςδιανυσμάτων:
: <math>u^T_k u_{k'}^*
= \sum_{n=0}^{N-1} \left(e^{ \frac{2\pi i}{N} kn}\right) \left(e^{\frac{2\pi i}{N} (-k')n}\right)
= N~\delta_{kk'}
</math>
πού <math>~\delta_{kk'}</math> είναι οτο [[Δέλτα του Κρόνεκερ|Kronecker δέλτα του Kronecker]]. (Στο τελευταίο βήμα, το άθροισμα είναι ασήμαντο αν <math>k=k'</math>, όπου είναι 1+1+⋅⋅⋅=''N'', και το αντίθετο, είναι μια γεωμετρική σειρά που μπορεί να είναι ρητάαθροιστεί αθροίζονταιαναλυτικώς για να αποκτήσετεαποκτήσει το μηδέν.) Αυτή η καθετότητασυνθήκη όροςτης καθετότητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αντλήσειαποκομίσει ητον φόρμουλατύπο για την IDFT από τον ορισμό του DFT, και είναι ισοδύναμο με τοτη unitarityμοναδική ιδιοκτησίαςιδιότητα παρακάτω.
=== Το Plancherel θεώρημα και το θεώρημα του Parseval ===
Αν ''X''<sub>''k''</sub> και ''Y''<sub>''k''</sub> είναι το DFTs των ''x''<sub>''n''</sub> και ''y''<sub>''n''</sub> , αντίστοιχα, τότε το θεώρημα του Parseval μέληπαραθέτει:
: <math>\sum_{n=0}^{N-1} x_n y^*_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k Y^*_k</math>
όπου ηο σταραστερίσκος δηλώνει [[Συζυγής μιγαδικός αριθμός|συγκρότημασυζυγή σύζευξημιγαδικό αριθμό]].Το Plancherel θεώρημα είναι μια ειδική περίπτωση από το θεώρημα του Parseval και μέληπαραθέτει:
: <math>\sum_{n=0}^{N-1} |x_n|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X_k|^2.</math>
Αυτά τα θεωρήματα είναι επίσης ισοδύναμο με τοτη ενιαίομοναδική όροςσυνθήκη παρακάτω.
=== Περιοδικότητα ===
: <math>X_{k+N} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} (k+N) n} =
\sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} k n} \underbrace{e^{-2 \pi i n}}_{1} = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} k n} = X_k. </math>
Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι ηο IDFTτύπος φόρμουλαIDFT οδηγεί σε μια περιοδική επέκταση.
=== Θεώρημα μετατόπισης ===
=== Shift το θεώρημα ===
Πολλαπλασιάζοντας <math>x_n</math> με μία ''γραμμική φάση'' <math>e^{\frac{2\pi i}{N}n m}</math> για κάποιο ακέραιοςακέραιο ''m'' αντιστοιχεί σε μια ''κυκλική μετατόπιση'' τηςτων παραγωγήςαποτελεσμάτων <math>X_k</math>: <math>X_k</math> αντικαθίσταται από <math>X_{k-m}</math>, όπου ο δείκτης ερμηνεύεται ως [[Αριθμητική υπολοίπων|moduloαριθμητικό υπόλοιπο]](του ''N'' (δηλαδήΝδηλαδή, σε τακτά χρονικά διαστήματα). Ομοίως, μια κυκλική μετατόπιση της εισόδου <math>x_n</math> αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό τηςτου παραγωγήςαποτελέσματος <math>X_k</math> από μια γραμμική φάση. Μαθηματικά, αν <math>\{x_n\}</math> αντιπροσωπεύει το διάνυσμα '''x''' τότε
: αν <math>\mathcal{F}(\{x_n\})_k=X_k</math>
|