Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
=== Τριγωνομετρικό πολυώνυμο παρεμβολής ===
Το τριγωνομετρικό πολυώνυμο παρεμβολής
: <math>p(t) = \frac{1}{N} \left[ X_0 + X_1 e^{2\pi it} + \cdots + X_{N/2-1} e^{(N/2-1)2\pi it} + X_{N/2} \cos(N\pi t) + X_{N/2+1} e^{(-N/2+1)2\pi it} + \cdots + X_{N-1} e^{-2\pi it} \right]</math> για ''N'' [[Άρτιοι και περιττοί αριθμοί|ακόμη]]άρτιος ,
: <math>p(t) = \frac{1}{N} \left[ X_0 + X_1 e^{2\pi it} + \cdots + X_{\lfloor N/2 \rfloor} e^{\lfloor N/2 \rfloor 2\pi it} + X_{\lfloor N/2 \rfloor+1} e^{-\lfloor N/2 \rfloor 2\pi it} + \cdots + X_{N-1} e^{-2\pi it} \right]</math> για ''N'' περιττός,
όπου οι συντελεστές ''του X''<sub>''k''</sub> δίνεται από τον DFTΔΜΦ της ''x''<sub>''n''</sub> ανωτέρωπαραπάνω, πληροίικανοποιούν τιςτην παρεμβολήιδιότητα τοποθεσίαπαρεμβολής <math>p(n/N) = x_n</math> για <math>n=0,\ldots,N-1</math>.
 
ΑκόμαΓια και γιαάρτιο ''N'', παρατηρούμε ότι η συχνότητα Nyquist στοιχείο <math>\frac{X_{N/2}}{N} \cos(N\pi t)</math> αντιμετωπίζεται ειδικά.
 
Αυτή η παρεμβολή είναι ''δεν είναι μοναδική'': aliasing σημαίνει ότι θα μπορούσε κανείς να προσθέσει ''N'' σε κάθε του συγκροτήματοςμιγαδική-ημιτονοειδήςημιτονοειδή συχνότητες (π. χ. αλλαγή <math>e^{-it}</math> να <math>e^{i(N-1)t}</math> ) χωρίς να αλλάζει η παρεμβολήιδιότητα τοποθεσίαπαρεμβολής, αλλά δίνοντας ''διαφορετικές'' τιμές μεταξύ των <math>x_n</math> σημείων. Η επιλογή παραπάνω, ωστόσο, είναι χαρακτηριστική, διότι έχει δύο χρήσιμες ιδιότητες. ΤοΗ πρώτοπρώτη, αποτελείται από ημιτονοειδώνημιτονοειδή κύματα των οποίων οι συχνότητες έχουν το μικρότερο δυνατό μεγέθημεγέθος: η παρεμβολή είναι περιορισμένου εύρους. ΔεύτερονΕνώ η δεύτερη, αν <math>x_n</math> είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε <math>p(t)</math> είναι αληθινόπραγματικό.
 
Σε αντίθεση, ητο πιο προφανήςπροφανές τριγωνομετρικό πολυώνυμο παρεμβολής είναι εκείνο στο οποίο οι συχνότητες κυμαίνονται από 0 έως <math>N-1</math> (αντίσε τωναντίθεση περίπουμε <math>-N/2</math> να <math>+N/2</math> όπως παραπάνω), παρόμοιο με τοτον inverseαντίστροφο DFTτύπο φόρμουλαΔΜΦ. Αυτή η παρεμβολή δεν ''δεν'' ελαχιστοποιήσειελαχιστοποιεί την κλίση, και ''όχιδεν είναι'' γενικά πραγματική αξίαπραγματικής-τιμής για την πραγματικήπραγματικό <math>x_n</math> *, η χρήση του είναι ένα κοινό λάθος.
 
=== Το ενιαίο DFT ===
25

επεξεργασίες