Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Αν δείτε το DFT ως ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων, ο οποίος απλώς καθορίζει τις συνιστώσες ενός διανύσματος σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων, τότε η παραπάνω είναι η δήλωση ότι το dot γινόμενο των δύο διανυσμάτων διατηρείται κάτω από έναν ενιαίο μετασχηματισμό DFT. Για την ειδική περίπτωση <math>\mathbf{x} = \mathbf{y}</math>, αυτό σημαίνει ότι το μήκος ενός διανύσματος είναι διατηρημένο, καθώς και—αυτό είναι το θεώρημα του Parseval,

: <math>\sum_{n=0}^{N-1}|x_n|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}|X_k|^2</math>

 

=== Εκφράζοντας την inverse DFT όσον αφορά το DFT ===

 

Πρώτα, μπορούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο DFT αντιστρέφοντας τις εισόδους (Duhamel ''et al.'', 1988):