Δυναμικό σύστημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Η έννοια του δυναμικού συστήματος έχει τις ρίζες της στη [[Νευτώνεια μηχανική]]. Εκεί, όπως και σε άλλες φυσικές επιστήμες,ο ηκανόνας της εξέλιξηεξέλιξης των δυναμικών συστημάτων είναι μια πεπλεγμένη σχέση, που δίνει την κατάσταση του συστήματος για μόνο ένα μόνο σύντομο χρονικό διάστημα στο μέλλον. (Η σχέση είναι είτε μια [[διαφορική εξίσωση]],[[εξίσωση διαφορών]] ή άλλη χρονική κλίμακα (time scale).)Για να προσδιορίσουμε την κατάσταση για όλους τους μελλοντικούς χρόνους απαιτείται η επανάληψη της σχέσης πολλές φορές—κάθε φορά από ένα μικρό βήμα.Η επαναληπτική διαδικασία αναφέρεται ως ''επίλυση του συστήματος'' ή ''ολοκλήρωση του συστήματος''. Αν το σύστημα μπορεί να λυθεί, δίνοντας ένα αρχικό σημείο είναι δυνατόν να καθοριστούν όλες οι μελλοντικές του θέσεις, μια συλλογή από σημεία που είναι γνωστή ως [[τροχιά]].

* Τα συστήματα που μελετήθηκαν γίνονταιείναι κατανοητάγνωστά στο περίπου—οιπερίπου—δεν παράμετροιμπορούμε τουμε συστήματοςακρίβεια δεννα μπορούμεγνωρίζουμε νατις τουςπαραμέτρους γνωρίζουμε με ακρίβειατου συστήματος ή ακόμα κάποιοι όροι του συστήματος μπορεί να λείπουν από τις εξισώσεις. Οι προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται θέτουν σε αμφισβήτηση την εγκυρότητα ή την καταλληλότητα των αριθμητικών λύσεων. Για να απαντήσουμε σε αυτά τα ερωτήματα αρκετές έννοιες της [[Μαθηματική ευστάθεια|ευστάθειας]] εισήχθησαν στη μελέτη των δυναμικών συστημάτων, όπως η ευστάθεια κατά τον  Lyapunov. Η ευστάθεια του δυναμικού συστήματος συνεπάγεται ότι υπάρχει μια κατηγορία μοντέλων ή αρχικέςαρχικών συνθήκεςσυνθηκών για τις οποίες οι τροχιές θα είναι ισοδύναμες. Η επιχείρηση για τηδιαδικασία σύγκρισησύγκρισης των τροχιών ώστε να αποδείξουμε την [[Σχέση ισοδυναμίας|ισοδυναμία]] τους άλλαξε με τις διαφορετικές έννοιες της ευστάθειας.

Επίσης, ο [[Stephen Smale]] σημείωσε σημαντική πρόοδο. Η πρώτη του συνεισφορά ήταν το πέταλο του Smale που ώθησε σε  σημαντική έρευνα στα δυναμικά συστήματα.Ακόμη Παρουσίασεαναφέρεται επίσηςσε ένα ερευνητικό πρόγραμμα που συνέβαλαν πολλοίκαι άλλοι πολλοί.

Ο [[Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky]] ανέπτυξε το ομώνυμο Θεώρημα (το [[Θεώρημα του Sharkovsky]]) για τις περιόδους των [[Διακριτό δυναμικό σύστημα|διακριτών δυναμικών συστημάτων]] το 1964. Μία από τις συνέπειες του θεωρήματος είναι ότι αν ένα διακριτό δυναμικό σύστημα έχει στον [[Άξονας των x|πραγματικό άξονα]] [[περιοδικό σημείο]] περιόδου 3, τότε θα πρέπει να έχει περιοδικά σημεία για κάθε τιμή της περιόδου.