Διακύμανση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Variance" |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 61:
=== Κατανομή Πουασσόν ===
Η [[κατανομή Πουασσόν]] με παράμετρο λ είναι μια διακριτή κατανομή για ''k'' = 0, 1, 2, ... Η [[
: <math>p(k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda},</math>
και έχει αναμενόμενη τιμή μ = λ. Η διακύμανση είναι ίση με:
Γραμμή 68:
=== Διωνυμική κατανομή ===
Η [[διωνυμική κατανομή]] με παραμέτρους ''n'' και ''p'' είναι μια διακριτή κατανομή για ''k'' = 0, 1, 2, ..., ''n''. Η [[
: <math>p(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k},</math>
και έχει αναμενόμενη τιμή μ = ''np''. Η διακύμανση είναι ίση με:
Γραμμή 128:
Ένας λόγος για να προτιμηθεί η χρήση της διακύμανσης από άλλα μέτρα διασποράς είναι ότι η διακύμανση του αθροίσματος (ή της διαφοράς) [[ασυσχέτιστων]] μεταβλητών είναι το άθροισμα των διακυμάνσεών τους:
: <math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i).</math>
Αυτή η πρόταση ονομάζεται τύπος [[
: <math>\operatorname{Var}\left(\overline{X}\right) = \operatorname{Var}\left(\frac {1} {n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac {1} {n^2}\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}\left(X_i\right) = \frac {\sigma^2} {n}.</math>
Δηλαδή, η διακύμανση της μέσης τιμής μειώνεται όταν το ''n ''αυξάνεται . Αυτός ο τύπος για τη διακύμανση της μέσης τιμής χρησιμοποιείται στον ορισμό του βασικού σφάλματος της μέσης τιμής του δείγματος , το οποίο χρησιμοποιείται στο [[Θεώρημα κεντρικού ορίου|κεντρικό οριακο θεώρημα.]] <span class="cx-segment" data-segmentid="304"></span>
Γραμμή 210:
=== Μονάδες μέτρησης ===
Σε αντίθεση με την αναμενόμενη απόλυτη απόκλιση, η διακύμανση μιας μεταβλητής έχει μονάδες που είναι το τετράγωνο από τις μονάδες της μεταβλητής. Για παράδειγμα, μια μεταβλητή που μετράται σε μέτρα θα έχει μια απόκλιση που μετράται σε μέτρα στο τετράγωνο. Για το λόγο αυτό, η περιγραφή των συνόλων δεδομένων μέσω της [[
Η τυπική απόκλιση και η αναμενόμενη απόλυτη απόκλιση μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως δείκτης της "εξάπλωσης" της κατανομής. Η τυπική απόκλιση είναι πιο δεκτική στην αλγεβρική χειραγώγηση από την αναμενόμενη απόλυτη απόκλιση, και, μαζί με τη διακύμανση και τη γενίκευση [[
== Προσέγγιση της διακύμανσης μιας συνάρτησης ==
Γραμμή 222:
Πραγματικές παρατηρήσεις όπως οι μετρήσεις από τη χθεσινή βροχή καθ'όλη τη διάρκεια της ημέρας τυπικά δεν μπορούν να είναι πλήρη σύνολα όλων των πιθανών παρατηρήσεων που θα μπορούσαν να γίνουν. Οπότε, η διακύμανση που υπολογίζεται από το πεπερασμένο σύνολο γενικά δεν θα ταιριάζει με τη διακύμανση που θα υπολογιζόταν από το συνολικό πλήθος των πιθανών παρατηρήσεων. Αυτό σημαίνει ότι εκτιμάται η μέση τιμή και η διακύμανση που θα είχαν υπολογιστεί από ένα πλήρες σύνολο παρατηρήσεων με τη χρήση μιας [[εκτιμήτριας συνάρτησης]]. Ο εκτιμητής είναι μια συνάρτηση από το [[Στατιστικό δείγμα|δείγμα]] των ''n'' [[Παρατήρηση|παρατηρήσεων]] η οποία σχεδιάζεται αμερόληπτα από το σύνολο του [[Πληθυσμός|πληθυσμού]] των πιθανών παρατηρήσεων. Σε αυτό το παράδειγμα,αυτό το δείγμα θα ήταν το σύνολο των πραγματικών μετρήσεων της χθεσινής βροχόπτωσης από τις διαθέσιμες μετρήσεις βροχής εντός της γεωγραφικής περιοχής που ενδιαφέρει.
Ο πιο απλός εκτιμητής για την μέση τιμή του πληθυσμού και τη διακύμανση του πληθυσμού είναι απλά η μέση τιμή και η διακύμανση του δείγματος, η '''μέση τιμή δείγματος''' και '''(μη διορθωμένη) διακύμανση του δείγματος''' – αυτά είναι [[
Πρώτον, αν και η πραγματική μέση τιμή είναι άγνωστη (και υπολογίζεται ως η μέση τιμή δείγματος), τότε η διακύμανση του δείγματος είναι [[μεροληπτικός εκτιμητής]]: υποτιμά τη διακύμανση κατά ένα παράγοντα (''n'' − 1) / ''n'' * η διόρθωση από αυτόν τον παράγοντα (διαίρεση με ''n'' − 1 αντί για ''n'') ονομάζεται [[Διόρθωση Bessel|διόρθωση Bessel]]. Ο εκτιμητής που προκύπτει είναι αμερόληπτος, και καλείται η '''(διορθωμένη) διακύμανση του δείγματος''' ή '''αμερόληπτη διακύμανση του δείγματος'''. Για παράδειγμα, όταν ''n'' = 1 η διακύμανση της μια μόνο παρατήρηση για τη μέση τιμή του δείγματος (από μόνη της), είναι προφανώς μηδέν, ανεξάρτητα από τη διακύμανση του πληθυσμού. Αν η μέση καθορίζεται με κάποιο άλλο τρόπο από ό,τι από τα ίδια δείγματα που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της διακύμανσης τότε αυτή η μεροληψία δεν τίθεται και η διακύμανση μπορεί με ασφάλεια να εκτιμηθεί όπως αυτή από τα δείγματα για την (ανεξάρτητα γνωστή) μέση τιμή.
Δεύτερον, η διακύμανση του δείγματος, γενικώς, δεν ελαχιστοποιεί το [[
=== Διακύμανση του πληθυσμού ===
|