Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

=== Άλλα πεδία ===

Πολλές από τις ιδιότητες του DFT εξαρτώνται μόνο από το γεγονός ότι <math>e^{-\frac{2 \pi i}{N}}</math> είναι μια [[Κυκλοτομικό σώμα|πρωτόγονη ρίζα της ενότητας]], μερικές φορές συμβολίζεται με <math>\omega_N</math> ή <math>W_N</math> (έτσι ώστε <math>\omega_N^N = 1</math>). Αυτές οι ιδιότητες περιλαμβάνουν την πληρότητα, την καθετότητα, Plancherel/Parseval, περιοδικότητα, αλλαγή, συνέλιξη, και μεμονομένες ιδιότητες παραπάνω, καθώς και πολλούς FFT αλγόριθμους. Για το λόγο αυτό, ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ρίζες της ενότητας σε [[Σώμα (άλγεβρα)|πεδία]] άλλα από των μιγαδικών αριθμών, και τέτοιες γενικεύσεις είναι κοινώς γνωστές ως ''αριθμιτική-θεωρητικοί μετασχηματισμοί'' (NTTs) στην περίπτωση των [[Πεπερασμένο σώμα|πεπερασμένων πεδίων]]. Για περισσότερες πληροφορίες, δείτε τον [[Αριθμητικός-θεωρητικός μετασχηματισμός|αριθμητικό-θεωρητικό μετασχηματισμό]] και τον [[Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ|διακριτό μετασχηματισμό Φουριέ]] (γενικά).

 

=== Άλλα πεπερασμένα σύνολα ===

Το πρότυπο DFT δρα σε μια ακολουθία ''x''₀, ''x''₁, ..., ''x''_{''N''&#x2212;1} μιγαδικών αριθμών, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνάρτηση {0, 1, ..., ''N'' &#x2212; 1} → '''C'''. Η πολυδιάστατη DFT δρα σε πολυδιάστατες ακολουθίες, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως συναρτήσεις

: <math> \{0, 1, \ldots, N_1-1\} \times \cdots \times \{0, 1, \ldots, N_d-1\} \to \mathbb{C}. </math>

 

== Εναλλακτικές λύσεις ==

Υπάρχουν διάφορες εναλλακτικές λύσεις για τον DFT για διάφορες εφαρμογές, εξέχουσα μεταξύ των οποίων είναι τα κύματα. Το αναλογικό του DFT είναι ο [[διακριτός μετασχηματισμός κυμάτων]] (DWT). Από την άποψη της ανάλυσης χρόνου-συχνότητας, ένας βασικός περιορισμός του μετασχηματισμού Φουριέ είναι ότι δεν περιλαμβάνει πληροφορίες θέσης, μόνο ''συχνότητας'' πληροφορίες, και έτσι έχει δυσκολία στην εκπροσώπηση μεταβατικών φαινομένων. Επειδή τα κύματα έχουν θέση καθώς και συχνότητα, είναι σε θέση να αντιπροσωπεύουν καλύτερα τοποθεσία, σε βάρος της μεγαλύτερης δυσκολίας να αντιπροσωπεύει τη συχνότητα. Για λεπτομέρειες, ανατρέξτε στη [[Διακριτός μετασχηματισμός κυμάτων|σύγκριση του διακριτού μετασχηματισμού κυμάτων με το διακριτό μετασχηματισμό Φουριέ]].