Δυναμικό σύστημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Vagflor (συζήτηση | συνεισφορές)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Vagflor (συζήτηση | συνεισφορές)
Βασικοί ορισμοί, Παραδείγματα
Γραμμή 27:
 
== Βασικοί ορισμοί ==
Ένα δυναμικό σύστημα είναι μια πολλαπλότητα M που καλείται [[φασικός χώρος]] (ή κατάσταση) εφοδιασμένος με μια οικογένεια συναρτήσεων <math>\Phi^t</math> ομαλής εξέλιξης, όπου για κάθε στοιχείο <math>t\in T </math>(ο χρόνος) απεικονίζει ένα σημείο του φασικού χώρου πίσω σε αυτόν. Η έννοια της ομαλότητας αλλάζει με εφαρμογές και το είδος της πολλαπλότητας. Υπάρχουν αρκετές επιλογές για το σύνολο T. Όταν το T παίρνει πραγματικές τιμές, το δυναμικό σύστημα ονομάζεται [[Ροή (δυναμικά συστήματα)|ροή]] και εάν το Τ περιορίζεται σε μη αρνητικές πραγματικές τιμές ονομάζεται [[Ροή (δυναμικά συστήματα)|ημι-ροή]]. Όταν το T αποτελείται από ακέραιους το δυναμικό σύστημα ονομάζεται αλληλουχία, και αν περιορίζεται σε μη αρνητικές ακέραιες τιμές ημι-αλληλουχία.
 
=== Παραδείγματα ===
Η εξέλιξη της συνάρτησης <math>\Phi^t</math>είναι συνήθωςη λύση μιας [[Διαφορική εξίσωση κίνησης|διαφορικής εξίσωσης κίνησης]]
 
<math>\dot{x}=v(x)</math>
 
Η εξίσωση δίνει την παράγωγο του χρόνου (αναπαριστάται με μία τελεία πάνω απο το x) μιας τροχιάς x(t) στο φασικό χώρο η οποία ξεκινά από κάποιο σημείο <math>x_0</math>. Το [[διανυσματικό πεδίο]] v(x) είναι μια ομαλή συνάρτηση που σε κάθε σημείο του φασικού χώρου M μας δίνει το [[διάνυσμα ταχύτητας]] του δυναμικού συστήματος στο σημείο αυτό. (Αυτά τα διανύσματα δεν είναι διανύσματα στο χώρο των φάσεων M, αλλά στην [[εφαπτόμενη περιοχή]] <math>\Tau_xM</math> του σημείου x). Από  μια ομαλή <math>\Phi^t</math>, μπορεί να προέρχεται ένα αυτόνομο διανυσματικό πεδίο.
 
Δεν υπάρχει καμία ανάγκη για υψηλότερης [[Παράγωγος|τάξης παράγωγους]] στην εξίσωση, ούτε για το χρόνο εξάρτησης στο v(x), επειδή αυτά μπορούν να επιλυθούν με την μελέτη συστήμάτων υψηλότερων διαστάσεων. Άλλες μορφές διαφορικών εξισώσεων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να καθορίσουν την εξέλιξη:
 
<math>G(x,\dot{x})=0</math>
 
είναι ένα παράδειγμα από μια εξίσωση που προκύπτει από την μοντελοποίηση των μηχανικών συστημάτων με πολύπλοκους περιορισμούς.
 
Οι διαφορικές εξισώσεις που καθορίζουν την εξέλιξη των συναρτήσεων <math>\Phi^t</math> είναι συχνά [[Διαφορική εξίσωση|συνήθεις διαφορικές εξισώσεις]], σε αυτή την περίπτωση ο χώρος των φάσεων M είναι πολλαπλότητα πεπερασμένης διάστάσης. Πολλές από τις έννοιες στα δυναμικά συστήματα μπορούν να επεκταθούν σε πολλαπλότητες απείρων διαστάσεων —αυτές που είναι τοπικά [[χώροι Banach]]—περίπτωση κατά την οποία οι διαφορικές εξισώσεις είναι [[Μερική διαφορική εξίσωση|μερικές διαφορικές εξισώσεις]]. Στα τέλη του 20ου αιώνα η προοπτική των δυναμικών συστημάτων στις μερικές διαφορικές εξισώσεις άρχισε να γίνεται όλο και πιο γνωστή.
 
== Γραμμικά δυναμικά συστήματα ==
Τα γραμμικά δυναμικά συστήματα μπορούν να λυθούν με όρους απλές συναρτήσεις και η συμπεριφορά όλων των τροχιών τους ταξινομούνται. Σε ένα γραμμικό σύστημα ο χώρος φάσεων είναι ο N-διάστατος Ευκλείδειος χώρος, έτσι ώστε κάθε σημείο του χώρου φάσεων να μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα διάνυσμα με N αριθμούς. Η ανάλυση των γραμμικών συστημάτων είναι δυνατή επειδή ικανοποιούν την [[αρχή της υπέρθεσης]]: αν η u(t) και η w(t) ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση για το διανυσματικό πεδίο (αλλά όχι απαραίτητα η αρχική κατάσταση), τότε θα την ικανοποιεί και η συνάρτηση u(t) + w(t).
 
=== Ροές ===
Για μια [[Ροή (μαθηματικάδυναμικά συστήματα)|ροή]], το διανυσματικό πεδίο Φ(x) είναι μια [[Αφινική συνάρτηση|αφινική συνάρτηση]] στο χώρο των φάσεων, που είναι,
 
<math>\dot{x}=\phi(x)=Ax+b,</math>