Αλγεβρική ποικιλία: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ σύνδεμος |
|||
Γραμμή 8:
= Εισαγωγή και ορισμοί =
Μια αφινική ποικιλία σε αλγεβρικό κλειστό επίπεδο εννοιολογικά είναι ο απλούστερος τύπος ποικιλίας από τους ορισμούς, τους οποίους θα αναφέρουμε σε αυτό το κεφάλαιο. Στη συνέχεια κάποιος μπορεί να καθορίσει τις προβολικές και σχεδόν-προβολικές ποικιλίες με παρόμοιο τρόπο. Ο πιο γενικός ορισμός της ποικιλίας διατυπώνεται από το συνδυασμό μικρότερων σχεδόν παραβολικών ποικιλιών. Δεν είναι προφανές ότι κάποιος μπορεί να κατασκευάσει πραγματικά νέα παραδειγμάτων ποικιλιών κατά αυτόν τον τρόπο,αλλά [[Nagata]] έδωσε ένα παράδειγμα μιας τέτοιας νέας ποικιλίας στη δεκαετία του '50.
=== Αφινικές ποικιλίες ===
Ας είναι k ένα κλειστό αλγεβρικό σώμα και ας είναι '''A'''<sup>''n''</sup> ένας [[Αφινικός χώρος|αφινικός n-χώρος]] στο k. Τα πολυώνυμα f στο δακτύλιο ''k''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''] μπορούν να θεωρηθούν ως k-διανυσματικές συναρτήσεις στο '''A'''<sup>''n''</sup> υπολογίζοντας την f στα σημεία του, δηλαδή επιλέγοντας τιμές από το k για κάθε ''x<sub>i</sub>''. Για κάθε σύνολο S πολυώνυμων στο k[x1, ..., Χn], ορίζουμε το μηδενικό τόπο ''Z''(''S'') το σύνολο των σημείων στο για τα οποία οι συναρτήσεις στο S ταυτόχρονα μηδενίζονται, δηλαδή
====== ''Z''(''S'')={x ∈ '''A'''<sup>''n''</sup> | f(x) = 0 για κάθε f∈S}. ======
Ένα υποσύνολο ''V'' του'''A'''<sup>''n''</sup> ονομάζεται αφινικό '''αλγεβρικό σύνολο''' αν ''V'' = ''Z''(''S'') για κάποια S. Ένα μη-μηδενικό αφινικό αλγεβρικό σύνολο ονομάζεται '''ανάγωγο''' αν δεν μπορεί να γραφεί ως ένωση δύο [[Γνήσιο υποσύνολο|γνήσιων]] αλγεβρικών υποσυνόλων. Ένα γνήσιο αφινικό αλγεβρικό σύνολο ονομάζεται επίσης '''αλγεβρική ποικιλία'''. ( Αρκετοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τη φράση αφινική ποικιλία για να αναφερθούν σε κάθε αλγεβρικό σύνολο, ανάγωγο ή όχι.)
| |||