Αρμονική συνάρτηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ο όρος "αρμονική" στην ονομασία αρμονική συνάρτηση προέρχεται από την αρμονική κίνηση στην οποία υποβάλλεται ένα σημείο σε μια τεντωμένη [[Χορδή (γεωμετρία)|χορδή]]. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης για αυτόν τον τύπο κίνησης μπορεί να εκφραστεί με όρους [[Ημίτονο|ημιτόνων]] και [[Συνημίτονο|συνημιτόνων]], συναρτήσεις δηλαδή που αναφέρονται ως αρμονικές. Η [[ανάλυση Φουριέ]] περιλαμβάνει επεκταμένες [[Περιοδική συνάρτηση|περιοδικές συναρτήσεις]] στο [[μοναδιαίο κύκλο]] με όρους μιας σειράς αυτών των αρμονικών συναρτήσεων. Αναλογιζόμενοι υψηλότερης τάξης αναλογίες των αρμονικών στη μοναδιαία n-σφαίρα, έχουμε τις σφαιρικές αρμονικές. Οι συναρτήσεις αυτές ικανοποιούν την [[Εξίσωση Λαπλάς|εξίσωση του Λαπλάς]], για αυτό και με την πάροδο του χρόνου, ο όρος "αρμονική" κατέληξε να αναφέρεται σε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την [[εξίσωση Λαπλάς]].

Αρμονικές συναρτήσεις που προκύπτουν στη φυσική προσδιορίζονται από τα ανώμαλα σημεία και τις [[συνοριακές συνθήκες]] (όπως είναι οι οριακές συνθήκες Dirichlet ή οι Neumann οριακές συνθήκες). Στις περιοχές χωρίς όρια, προσθέτοντας το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος κάθε συνάρτησης παράγεται μια αρμονική συνάρτηση με το ίδιο ανώμαλο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, η αρμονική συνάρτηση δεν καθορίζεται από το ανώμαλο σημείο της, ωστόσο, μπορούμε να κάνουμε τη λύση μοναδική  σε φυσικές καταστάσεις, απαιτώντας ότι η λύση τείνει στο 0, καθώς τείνουμε στο άπειρο. Η μοναδικότητα προκύπτει από το [[θεώρημα του Liouville]].

* Οι σταθερές, γραμμικές και συναφής συναρτήσεις σε όλο το '''R'''^''n'' (για παράδειγμα, το [[ηλεκτρικό δυναμικό]] μεταξύ των πλακών του [[Πυκνωτής|πυκνωτή]], και ητο βαρύτικό δυναμικό της πλάκας)

* Η συνάρτηση <math>\,\! f(x_1,\dots,x_n)=({x_1}^2+\cdots+{x_n}^2)^{1-n/2}</math> στο <math>\mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace</math> για ''n'' > 2.

Το σύνολο των αρμονικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα δοσμένο [[ανοιχτό σύνολο]] U μπορεί να θεωρηθεί ως ο πυρήνας ενός τελεστή ΛαπλαςΛαπλάς Δ και για το λόγο αυτό αποτελεί [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματικό χώρο]] πάνω στο R; το άθροισμα, η διαφορά και το βαθμωτό γινόμενο αρμονικών συναρτήσεων είναι επίσης αρμονικά.

Όλες οι αρμονικές συναρτήσεις είναι [[Αναλυτική συνάρτηση|αναλυτικές]], μπορούν δηλαδή να εκφραστούν τοπικά σα δυναμοσειρές. Αυτός είναι ένας γενικός κανόνας για τους ελλειπτικούς τελεστές, μεγαλύτερο παράδειγμα των οποίων αποτελεί ο [[Τελεστής Λαπλάς|τελεστής Λαπλας]].

Ας εξεταστεί η ακολουθία <math>fn(x,y)={1 \over n}\exp(nx)\cos(ny)</math> , ορισμένη στο <math>(-\infty,0)\times R</math>. Η ακολουθία αυτή είναι αρμονική και [[Ομοιόμορφη σύγκλιση|συγκλίνει ομοιόμορφα]] στη μηδενική συνάρτηση. Παρ' όλα αυτά πρέπει να σημειωθεί ότι οι [[Μερική παράγωγος|μερικές παράγωγοι]] της δεν συγκλίνουν στη μηδενική συνάρτηση(δηλαδή την παράγωγο της μηδενικής συνάρτησης). Με το παράδειγμα αυτό τονίζεται η σημασία που παίζει η ιδιότητα της μέσης τιμής και η συνέχεια για να υποστηριχθεί ότι το όριο είναι αρμονικό.

συμβολίζει τη [[χαρακτηριστική συνάρτηση]] μιας μπάλας, με ακτίνα r και κέντρο την αρχή των αξόνων, κανονικοποιημένης έτσι ώστε <math>\scriptstyle \int_{\mathbf{R}^n}\chi_r\, dx=1</math>, τότε η συνάρτηση f είναι αρμονική αν και μόνον εάν

Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση, [[Άνω και κάτω φραγμένη συνάρτηση|άνω και κάτω φραγμένη]], ορισμένη σε ολόκληρο το '''R'''^''n'' '',''τότε η f είναι σταθερή. Ο Edward Nelson παρουσίασε μια εξαιρετικά μικρή απόδειξη του θεωρήματος αυτού, βασισμένη στην ιδιότητα της μέσης τιμής που αναφέρθηκε παραπάνω:<blockquote>Δοσμένων δυο σημείων, επιλέξτε δυο μπάλες με κέντρα τα σημεία αυτά και ακτίνες ίσες. Εάν οι ακτίνες είναι αρκετά μεγάλες, τότε οι δυο μπάλες θα συμπίπτουν εκτός από μια αυθαίρετα μικρή περιοχή του όγκου τους. Εφόσον η f είναι φραγμένη, η μέση τιμή της πανω στις δυο μπάλες θα είναι τόσο κοντά, ώστε η f να θεωρείται οτι παίρνει την ίδια τιμή σε κάθε ζεύγος σημείων.</blockquote>

Πολλές από τις ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων σε πεδία στον Ευκλείδιο χώρο, μεταφέρονται σε αυτό το πιο γενικό περιβάλλον, συμπεριλαμβανομένων του θεωρήματος μέσου όρου (πάνω σε [[Γεοδεσιακή μπάλα|γεοδεσιακές μπάλες]]), της αρχής του μεγίστου, και της ανισότητας του Χαρνακ. Με μόνη εξαίρεση το θεώρημα του μέσου όρου, αυτές είναι όλες συνέπειες των αντίστοιχων αποτελεσμάτων για γενικές γραμμικές ελλειπτικές μερικές [[Διαφορική εξίσωση|διαφορικές εξισώσεις]], δεύτερης τάξης.

Μια ''C''² συνάρτηση για την οποία ισχύει Δ''f'' ≥ 0, ονομάζεται [[υφαρμονική]]. Η συνθήκη αυτή εγγυάται ότι η αρχή του μεγίστου ισχύει, παρ' όλο που άλλες ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων υπάρχει περίπτωση να μην ισχύουν. Γενικότερα, μια συνάρτηση είναι υφαρμονική αν και μόνο αν, στο εσωτερικό κάθε μπάλας στο πεδίο ορισμού της, το [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γράφημά]] της βρίσκεται κάτω από το γράφημα της αρμονικής συνάρτησης που παρεμβάλλεται μεταξύ των συνοριακών τιμών της μπάλας.

Μια γενίκευση πάνω στη μελέτη των αρμονικών συναρτήσεων είναι η μελέτη των αρμονικών μορφών σε [[πολλαπλότητες Ριμαν]], η οποία σχετίζεται με τη μελέτη της ομολογίας. Ακόμη είναι πιθανό να οριστούν αρμονικές [[διανυσματικές συναρτήσεις]], ή αρμονικοί χάρτες δυο πολλαπλοτήτων Ριμαν, που είναι κρίσιμα σημεία μιας γενικευμένης συναρτησιακής ενέργειας του Ντιριχλετ. Αυτό το είδος αρμονικών χαρτών εμφανίζεται στη θεωρία των ελαχίστων επιφανειών. Για παράδειγμα, μια [[καμπύλη]], δηλαδή μια απεικόνιση από ένα διάστημα στο '''R''' σε μια πολλαπλότητα Ρίμαν, θα είναι αρμονικός χάρτης αν και μόνο αν είναι γεοδεσιακή.