Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ομολογική Άλγεβρα»

μ (Bot: Parsoid bug phab:T107675)
 
== Αλυσίδα συμπλεγμάτων και ομολογία ==
Η αλυσίδα συμπλεγμάτων είναι η κεντρική ιδέα της ομολογικής άλγεβρας. Είναι μια ακολουθία <math> (C_\bullet, d_\bullet)</math> τωναντικειμένων αβελιανών ομάδων(objects) και τωνμορφισμών ομομορφισμών(morhisms), με την ιδιότητα ότι η σύνθεση δύο συνεχόμενων μετασχηματισμών είναι μηδέν:<math> C_\bullet: \cdots \longrightarrow
C_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}
C_n \stackrel{d_n}{\longrightarrow}
\cdots, \quad d_n \circ d_{n+1}=0.</math>
 
Τα στοιχεία C<sub>n</sub> ονομάζονται n-αλυσίδες και οι ομομορφισμοίμορφισμοί d<sub>n</sub> ονομάζονται φραγμένες ή διαφορικές συναρτήσεις. Οι αλυσίδες CN μπορούν να τροφοδοτούνται με επιπλέον δομή. Για παράδειγμα, μπορεί να είναι διανυσματικοί χώροι ή πρότυπα πάνω από ένα σταθερό δακτύλιο R. Οι διαφορικές συναρτήσεις πρέπει να διατηρήσουν την επιπλέον δομή εάν υπάρχει. Για παράδειγμα, θα πρέπει να είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί ή ομομορφισμοί προτύπων πάνω από το R. Για ευκολία, ασχολούμαστε με τις αβελιανές ομάδες (πιο σωστά, με την κατηγορία Ab των αβελιανών ομάδων). Σύμφωνα με το διάσημο θεώρημα του Barry Mitchell το παραπάνω αποτελέσμα γενικεύεται σε κάθε αβελιανή κατηγορία. Κάθε αλυσίδα συμπλεγμάτων ορίζει δύο ακόμη ακολουθίες των αβελιανών ομάδων, οι κύκλοι ''Z<sub>n</sub>'' = Ker ''d<sub>n</sub>'' και την φραγμένη ακολουθία ''B<sub>n</sub>'' = Im ''d<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>, όπου Ker ''d'' και Im d δηλώνουν τον πυρήνα και την εικόνα του d αντίστοιχα. Δεδομένου ότι η σύνθεση των δύο φραγμένων ακολουθιών είναι μηδέν, ισχύει το παρακάτω
 
<math> B_n \subseteq Z_n \subseteq C_n. </math>
Ανώνυμος χρήστης