Ευκλείδεια γεωμετρία: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ο Ευκλείδης πίστευε ότι τα [[Αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας|αξιώματά]] του ήταν αυτονόητες καταστάσεις σχετικά με την φυσική πραγματικότητα.Οι αποδείξεις του Ευκλείδη βασίζονταν πάνω σε παραδοχές οι οποίες ίσως να μην ήταν προφανείς στα θεμελιώδη αξιώματα του Ευκλείδη,<ref>Richard J. Trudeau (2008). "Euclid's axioms". [https://books.google.com/books?id=YRB4VBCLB3IC&pg=PA39 ''The Non-Euclidean Revolution'']. Birkhäuser. σελίδα. 39 ''ff''.[[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-8176-4782-1|0-8176-4782-1]].</ref> και πιο συγκεκριμένα ότι ορισμένες αριθμητικές κινήσεις δεν αλλάζουν τις γεωμετρικές τους ιδιότητες όπως τα μήκη των πλευρών και οι εσωτερικές γωνίες, οι λεγόμενες ''Ευκλείδειες κινήσεις'', οι οποίες περιλαμβάνουν μεταφράσειςμεταφορές, αντανακλάσειςανακλάσεις και περιστροφές στοιχείων.<ref>CRC Press σελίδα 314, Springer σελίδα 60, Dover σελίδα 167</ref> Λαμβάνοντάς τα ως φυσικές περιγραφές του χώρου, το αξίωμα 2(επέκταση γραμμής) ισχυρίζεται ότι ο χώρος δεν έχει οπές ή όρια(με αλλά λόγια , ο χώρος είναι [[ομοιογενής]] και [[απεριόριστος]]), το αξίωμα 4 (ισότητα ορθών γωνιών) λέει ότι ο χώρος είναι [[ισοτροπικός]] και τα στοιχεία μπορούν να μετακινηθούν σε οποιαδήποτε τοποθεσία όσο διατηρούν μία μαθηματική [[Αναλογία (μαθηματικά)|αναλογία]] , και το αξίωμα 5 ([[παράλληλο αξίωμα]]) ότι ο χώρος είναι επίπεδος(δεν έχει καθόλου [[εγγενή καμπυλότητα]]).<ref>Roger Penrose (2007). [https://books.google.com/books?id=coahAAAACAAJ&dq=editions:cYahAAAACAAJ&hl=en&ei=i7DZTI62K46asAObz-jJBw&sa=X&oi=book_result&ct=book-thumbnail&resnum=1&ved=0CCcQ6wEwAA ''The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe'']. Vintage Books. σελίδα. 29. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-679-77631-1|0-679-77631-1]].</ref>