Θεώρημα πρώτων αριθμών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Με βάση τους πίνακες από τους [[Anton Felkel]] και  [[Jurij Vega]], o [[Adrien-Marie Legendre|A]]<nowiki/>ο [[Adrien-Marie Legendre|drien-Marie Legendre]] υπέθεσε το 1797 ή 1798 ότι το π(a) προσεγγίζεται από την συνάρτηση ''a''/(A log(''a'') + ''B''), όπου Α και Β είναι απροσδιόριστες σταθερές. Στη δεύτερη έκδοση του βιβλίου του για τη θεωρία αριθμών (1808) π,σκανεέκανε μια πιο ακριβή εικασία, με  ''A'' = 1 και ''B'' = −1.08366. Ο [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους|Carl Friedrich Gauss]]

μελέτησε την ίδια ερώτηση στην ηλικία των 15 ή 16 από το 1792 ή το 1793, σύμφωνα με τις δικές του αναμνήσεις το 1849.<ref>{{Cite book|title=Werke , Bd 2 , 1st ed|last=Gauss|first=C.F.|publisher=|year=|isbn=|location=Göttingen , 1863|page=444-447}}</ref> To 1838 o [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] ήσυνέλαβεμμιασυνέλαβε μια νέα ροσεγγιστικήπροσεγγιστική συνάρτηση, το [[λογαριθμικό ολοκλήρωμα]] li(x) (συπόμμιααπό μια λαφρώς ελαφρώς διαφορετική μορφή μιας σειράς, τοηνοποίοαοτην οποία ο ίδιος κοινοποίησε στον Gauss). Οι τύποι των Legendre' και οDirichlet'Dirichlet υπονόησαν την ίδια εικασία της ασυμπτωτικής ισοδυναμίας των π(x) και ''x'' / log(''x'') που προαναφέρθηκαν, αν και αποδείχθηκε ότι η προσέγγιση του Dirichlet είναι σημαντικά καλύτερη, αν μελετήσει κανείς τις διαφορές αντί για το πηλίκο.

Σε δύο έγγραφα από το 1848 και το 1850, ο Ρώσος μαθηματικός [[Παφνούτι Τσεμπισιόφ]] προσπάθησε να αποδείξει τον ασυμπτωτικό νόμο της κατανομής των πρώτων αριθμών. Το έργο του είναι αξιοσημείωτο για τη χρήση της ζήτα συνάρτησης ζ(s) (για πραγματικές τιμές του ορίσματος "s", όπως είναι οι εργασίες του [[Λέοναρντ Όιλερ]] (Leonard Euler), ήδη από το 1737) πρίνπριν από τα απομνημονεύματα του Riemann το 1859, και κατάφερε να αποδείξει μια ελαφρώς ασθενέστερη μορφή του ασυμπτωτικού νόμου, δηλαδή, ότι αν το όριο του π(x)/(x/log(x)) καθώς το x τείνει στο άπειρο υπάρχει, τότε είναι αναγκαστικά ίσο με το ένα.<ref>{{Cite journal|url=http://www.jstor.org/stable/2322510|title=A Short Proof of Chebyshev's Theorem|last=Pereira|first=N. Costa|date=1985-01-01|journal=The American Mathematical Monthly|issue=7|doi=10.2307/2322510|volume=92|pages=494–495}}</ref> Ήταν σε θέση να αποδείξει ανεπιφύλακτα ότι η αναλογία αυτή είναι φραγμένη πάνω και κάτω από δυο ρητά δοσμένες σταθερές κοντά στο 1, για όλα τα μεγάλα x.<ref>{{Cite journal|url=http://www.jstor.org/stable/2320934|title=On Chebyshev-Type Inequalities for Primes|last=Nair|first=M.|date=1982-01-01|journal=The American Mathematical Monthly|issue=2|doi=10.2307/2320934|volume=89|pages=126–129|jstor=2320934}}</ref> Παρά το γεγονός ότι ο Chebyshev δεν είχε αποδείξει στο έγγραφοέγγραφό του το Θεώρημα πρώτων αριθμών, οι εκτιμήσεις του για το π(x) ήταν αρκετά ισχυρές για να αποδείξει το [[αξίωμα του Bertrand]], ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ των n και 2n για κάθε ακέραιο n ≥ 2.

Ένα σημαντικό έγγραφο σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών ήταν τα απομνημονεύματα του Riemann το 1859 σχετικά με τον [[αριθμό των πρώτων αριθμών που είναι μικρότερος από ένα δεδομένο μέγεθος]], το μόνο έγγραφο που έγραψε ποτέ για αυτό το θέμα. Ο Riemman εισήγαγε νέες ιδέες σε αυτό το θέμα, οη επικεφαλής των οποίων είναι ότι η κατανομή των πρώτων αριθμών είναι στενά συνδεδεμένη με τα μηδενικά της αναλυτικά επεκταμένης [[Συνάρτηση ζήτα|συνάρτησης ζήτα του Riemann]] μιας σύνθετης μεταβλητής. Ειδικότερα, από αυτό το έγγραφο του Riemann προέρχεται η ιδέα του να εφαρμόσει τις μεθόδους της [[Μιγαδική ανάλυση|μιγαδικής ανάλυσης]] με τη μελέτη της πραγματικής συνάρτησης π(x). Επεκτείνοντας τις ιδέες του Riemann, δύο αποδείξεις του ασυμπτωτικού κανόνα της κατανομής των πρώτων αριθμών εξασφαλίστηκαν ανεξάρτητα από τον [[Jacques Hadamard]] και τον [[Charles Jean de la Vallée- Poussin]] και εμφανίστηκαν την ίδια χρονιά (1896). Και στις δύο αποδείξεις χρησιμοποιούνται μέθοδοι από την ανάλυση, που καθόρισαν ως κύριο βήμα ότι η συνάρτηση ζήτα του Riemman ζ(s) είναι μη μηδενική για όλες τις πολύπλοκες τιμές της μεταβλητής s που έχουν την μορφή s= 1+ με t > 0.<ref>{{Cite book|title=The Distribution of Prime Numbers|last=Ingham|first=A.E.|publisher=|year=1990|isbn=0-521-39789-8|location=Cambridge University Press|page=2-5}}</ref>