Σύμβολο μετάθεσης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 3:
==Ορισμός==
Το σύμβολο μετάθεσης συναντάται κυρίως στις τρεις, στις τέσσερις και σε κάποιο βαθμό στις δύο διαστάσεις. Ωστόσο, ο ορισμός του συμβόλου μετάθεσης γενικεύεται για οποιαδήποτε διάσταση.
===Δύο διαστάσεις===
Το [[Διάσταση|διδιάστατο]] σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως:
:<math> \varepsilon_{ij} =
\begin{cases}
+1 & \text{αν } (i, j) = (1, 2) \\
-1 & \text{αν } (i, j) = (2, 1) \\
\;\;\,0 & \text{αν } i = j
\end{cases}
</math>
Οι τιμές μπορούν να διαταχθούν σε έναν 2 × 2 [[Πίνακας (μαθηματικά)|αντισυμμετρικό πίνακα]]:
:<math>\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}</math>
Η χρήση του διδιάστατου συμβόλου είναι σχετικά ασυνήθιστη, παρόλα αυτά, σε ορισμένες εξεζητημένες περιοχές όπως η [[υπερσυμμετρία]]<ref>{{cite book|title=Supersymmetry|first=P.|last=Labelle|series=Demystified|publisher=McGraw-Hill|pages=57–58|year=2010|isbn=978-0-07-163641-4}}</ref> και στη θεωρία twistor<ref>{{cite web|accessdate=2013-09-03|title=Twistor Primer|first=F.|last=Hadrovich|url=http://users.ox.ac.uk/~tweb/00004/index.shtml}}</ref> εμφανίζεται στο πλαίσιο των 2-σπινόρων. Τα σύμβολα Levi-Civita χρησιμοποιούνται ευρύτερα στις τρεις ή περισσότερες διαστάσεις.
===Τρεις διαστάσεις===
Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο:
: <math> \epsilon_{ijk}=\begin{cases} +1, & \ \alpha\nu \ (i,j,k)=(1,2,3),(3,1,2) \ \acute{\eta} \ (2,3,1) \\ -1, & \ \alpha\nu \ (i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3) \ \acute{\eta} \ (3,2,1) \\ 0, & \ \alpha\nu \ i=j, \ i=k \ \acute{\eta} \ j=k \end{cases} </math>
Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης ε<sub>ijk</sub> ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση (ή μετάταξη) των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται.
Γραμμή 12 ⟶ 42 :
: <math> \epsilon_{ijk}=\frac{\left( i-j \right)\left( j-k \right)\left( k-i \right)}{2} </math>
Κατ' αναλογία με τους πίνακες δύο διαστάσεων, οι τιμές του τριδιάστατου συμβόλου Levi-Civita μπορούν να παρασταθούν σε μια διάταξη {{nowrap|3 × 3 × 3}}:
:[[File:Epsilontensor.svg|200px]]
όπου {{mvar|i}} είναι το βάθος (μπλε, {{mvar|i}}=1; κόκκινο, {{mvar|i}}=2; πράσινο, {{mvar|i}}=3), {{mvar|j}} η σειρά and {{mvar|k}} η στήλη.
Μερικά παραδείγματα:
:<math>\begin{align}
\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{2}\color{Violet}{3}} &= - 1 \\
\varepsilon_{ \color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{ \color{Orange}{2}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1 \\
\varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1 \\
\varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} &= 0
\end{align}</math>
===Τέσσερις διαστάσεις===
Στις [[Διάσταση|τέσσερις διαστάσεις]], το σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως:
:<math>\varepsilon_{ijkl } =
\begin{cases}
+1 & \text{αν }(i,j,k,l) \text{ είναι άρτια μετάθεση των } (1,2,3,4) \\
-1 & \text{αν }(i,j,k,l) \text{ είναι περιττή μετάθεση των } (1,2,3,4) \\
\;\;\,0 & \text{διαφορετικά}
\end{cases}
</math>
Αυτές οι τιμές μπορούν να παρασταθούν σε μια {{nowrap|4 × 4 × 4 × 4}} διάταξη, παρόλα αυτά στις 4 ή ανώτερες διαστάσεις, αυτό δύσκολα μπορεί να σχεδιαστεί.
Μερικά παραδείγματα:
:<math>\begin{align}
\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} &= - 1\\
\varepsilon_{\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} &= -1\\
\varepsilon_{\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}}) = 1\\
\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} = -\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} &= 0
\end{align}</math>
===Γενίκευση στις ''{{mvar|n}}'' διαστάσεις===
Το σύμβολο μετάθεσης Levi-Civita μπορεί να γενικευθεί στις {{mvar|n}} [[Διάσταση|διαστάσεις]]:<ref name="Kay">{{cite book| first=D. C. |last=Kay| title=Tensor Calculus| series=Schaum’s Outlines |publisher=McGraw Hill | year=1988 | isbn=0-07-033484-6}}</ref>
:<math>\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} =
\begin{cases}
+1 & \text{αν }(a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n) \text{ είναι άρτια μετάθεση των } (1,2,3,\dots,n) \\
-1 & \text{αν }(a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n) \text{ είναι περιττή μετάθεση των } (1,2,3,\dots,n) \\
\;\;\,0 & \text{διαφορετικά}
\end{cases}
</math>
Έτσι, πρόκειται για το πρόσημο της μετάθεσης, στη περίπτωση της μετάθεσης και μηδέν σε κάθε άλλη περίπτωση.
Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό του πολλαπλασιασμού {{math|∏}} για το συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών, μπορεί να διατυπωθεί μια πολύ σαφής έκφραση:
:<math> \begin{align}
\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} & = \prod_{1\leq i < j \leq n} \sgn ( a_j-a_i ) \\
& = \sgn(a_2 - a_1)\sgn(a_3 - a_1)\dots\sgn(a_n - a_1)\sgn(a_3 - a_2)\sgn(a_4 - a_2)\dots\sgn(a_n - a_2)\dots\sgn(a_n - a_{n-1})
\end{align}</math>
όπου το γινόμενο είναι συνολικά αντισυμμετρικό σε όλους τους δείκτες και το σύμβολο {{math|sgn}} υποδηλώνει τη συνάρτηση προσήμου, η οποία εξάγει το πρόσημο κάθε διαφοράς, απορρίπτοντας τις απόλυτες τιμές. Ο τύπος ισχύει για κάθε τιμή δείκτη και για κάθε {{mvar|n}} (όταν {{mvar|n}} = 0 ή 1, τότε πρόκειται για το "άδειο" γινόμενο (empty product). Ωστόσο, το να υπολογίσει κανείς αφελώς την παραπάνω έκφραση, απαιτείται χρονική πολυπλοκότητα τάξης {{math|O(''n''<sup>2</sup>)}}, ενώ, χρησιμοποιώντας διακριτούς κύκλους μετάθεσης (disjoint cycles), απαιτείται ένα κόστος τάξης μόλις {{math|O(''n'' log(''n''))}}.
==Ιδιότητες==
| |||