|
Η αλλαγή στην ενέργεια εξαρτάται δηλαδή μόνο από το ηλεκτρικό και όχι από το μαγνητικό πεδίο.
==Συναλλοίωτη μορφή της δύναμης Λόρεντζ==
==Covariant form of the Lorentz force==
{{main| Formulation of Maxwell's equations in special relativity }}
Η εξίσωση της δύναμης Λόρρεντζ μπορεί να γραφεί σε [[Συναλλοίωτος μετασχηματισμός|συναλλοίωτη μορφή]], μέσω του τανυστή του πεδίου.
The Lorentz force equation can be written in [[Covariant transformation|covariant form]] in terms of the field strength tensor.
::<math> \frac{d p^\alpha}{d \tau} = q u_\beta F^{\alpha \beta} </math>
:όπου
:where
::<math>\tau </math> isείναι c timesφορές theο [[proper timeιδιοχρόνος]] of theτου particleσωματιδίου,
::''q'' isείναι theτο [[Electricηλεκτρικό charge|chargeφορτίο]],
::''u'' είναι η [[τετραταχύτητα]] του σωματιδίου, που ορίζεται ως:
::''u'' is the [[four-velocity|4-velocity]] of the particle, defined as:
::<math>u_\beta = \left(u_0, u_1, u_2, u_3 \right) = \gamma \left(c, v_x, v_y, v_z \right) \,</math>andκαι
::''F'' είναι ο [[τανυστής ηλεκτρομαγνητικού πεδίου]] (ή ηλεκτρομαγνητικός τανυστής) και γράφεται:
::''F'' is the [[Electromagnetic tensor|field strength tensor]] (or electromagnetic tensor) and is written in terms of fields as:
::<math>F^{\alpha \beta} = \begin{bmatrix}
</math>.
Τα πεδία μετασχηματίζονται σε ένα σύστημα αναφοράς που κινείται με σταθερή σχετική ταχύτητα ως:
The fields are transformed to a frame moving with constant relative velocity by:
:<math> \acute{F}^{\mu \nu} = {\Lambda^{\mu}}_{\alpha} {\Lambda^{\nu}}_{\beta} F^{\alpha \beta}
,</math>
whereόπου <math> {\Lambda^{\mu}}_{\alpha}
</math> είναι ένας [[μετασχηματισμοί Λόρεντζ|μετασχηματισμός Λόρεντζ]].
</math> is a [[Lorentz transformation]].
===Derivation===
The <math>\mu =1</math> component (x-component) of the force is
::<math> \gamma \frac{d p^1}{d t} = \frac{d p^1}{d \tau} = q u_\beta F^{1 \beta} = q\left(-u^0 F^{10} + u^1 F^{11} + u^2 F^{12} + u^3 F^{13} \right) .\,</math>
Here, <math> \tau </math> is the [[proper time]] of the particle. Substituting the components of the electromagnetic tensor ''F'' yields
::<math> \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \left(-u^0 \left(\frac{-E_x}{c} \right) + u^2 (B_z) + u^3 (-B_y) \right) \,</math>
Writing the [[four-velocity]] in terms of the ordinary velocity yields
::<math> \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left(c \left(\frac{E_x}{c} \right) + v_y B_z - v_z B_y \right) \,</math>
::<math> \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left( E_x + \left(\mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)_x \right) .\,</math>
The calculation of the <math>\mu = 2</math> or <math>\mu = 3</math> is similar yielding
::<math> \gamma \frac{d \mathbf{p} }{d t} = \frac{d \mathbf{p} }{d \tau} = q \gamma \left(\mathbf{E} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})\right) \,</math>,
which is the Lorentz force law.
==Εφαρμογές==
| 