Πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο

Στη Στερεομετρία, το πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο, που ανήκει στα καταλανικά στερεά, τα οποία είναι δυϊκά των αρχιμήδειων στερεών. Συγκεκριμένα, το πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο είναι το δυϊκό του πεπλατυσμένου κύβου. Διαθὲτει 24 έδρες σχήματος μη κανονικού πενταγώνου (εξού και το όνομα του στερεού).

Πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
Τύπος	Καταλανικό στερεό
Έδρες	24 μη κανονικά πεντάγωνα
Ακμές	60
Κορυφές	38
Ομάδα συμμετρίας	οκταεδρική (Oh)
Δυϊκό	Πεπλατυσμένος κύβος
Ανάπτυγμα

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά

Η κάθε έδρα του πολυέδρου είναι ένα μη κανονικό πεντάγωνο το οποίο διαθέτει δύο ειδών πλευρές, τρεις μικρές (που είναι γειτονικές μεταξύ τους) και δύο μεγάλες. Αυτό σημαίνει ότι οι ακμές του στερεού είναι δύο ειδών.

Οι μετρικές ιδιότητες του πενταγωνικού εικοσιτετράεδρου είναι στενά συνδεδεμένες με τη σταθερά tribonacci:

$t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\approx 1,8393$

Έτσι, αν λάβουμε το μήκος της ακμής του δυϊκού πεπλατυσμένου κύβου ίσο με τη μονάδα, τότε τα μήκη των ακμών του πενταγωνικού εικοσιτετράεδρου είναι:

$s_{1}={\frac {1}{\sqrt {t+1}}}\approx 0,5935$

$s_{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {t+1}}\approx 0,8425$

Ο λόγος της μεγάλης προς τη μικρή ακμή είναι:

${\frac {s_{2}}{s_{1}}}={\frac {t+1}{2}}\approx 1,4196$

Τώρα, αν θεωρήσουμε το μήκος της μικρής ακμής (s₁) του στερεού ίσο με τη μονάδα, τότε ισχύουν τα εξής:

Συνολική επιφάνεια	$S=3(t+1){\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}\approx 54,7965$
Όγκος	$V={\frac {t(3t+1)}{(t-1){\sqrt {2-t}}}}\approx 35,6302$

Το πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο είναι χειρικό, δηλαδή εμφανίζεται σε δύο αντικατοπτρικές μορφές, τα εναντιόμορφα (δεξιόστροφο και αριστερόστροφο).

Πηγές

• (Αγγλικά) Weisstein, Eric W., Deltoidal Pentagonal Icositetrahedron στο MathWorld
• (Αγγλικά) pentagonal icositetrahedron στο Wolfram Alpha