Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
μ (Αντικατάσταση παρωχημένου προτύπου με references tag)
== Μέθοδοι απόδειξης ==
[[Αρχείο:Euclid-proof.svg|μικρογραφία|Απόδειξη απ' τα ''Στοιχεία'' του Ευκλείδη. "Αν έχουμε ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα, τότε υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο που θα έχει αυτό το τμήμα ως μια απ΄ τις πλευρές του". Η απόδειξη είναι κατασκευαστική. Το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ φτιάχνεται αν κατασκευάσουμε δύο κύκλους Δ και Ε με κέντρα Α και Β αντίστοιχα και πάρουμε το σημείο Γ να είναι μια απ΄τις δύο τομές των δύο κύκλων. Ενώνοντας τα σημεία Α,Β και Γ έχουμε το ζητούμενο ισόπλευρο τρίγωνο.]]
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι "κατασκευαστική". Τα αξιώματα 1,2,3 και 5 μας εξασφαλίζουν την ύπαρξη και μοναδικότητα συγκεκριμένων γεωμετρικών σχημάτων. Δε μένουν όμως μόνο εκεί γιατί μας εξασφαλίζουν και τις μεθόδους που τα κατασκευάζουν. ΓιαυτόΓι'αυτό λέμε ότι είναι και "κατασκευαστική". Τα εργαλεία που απαιτούνται για την κατασκευή είναι χάρακας και διαβήτης<ref>Ball, σελ.56</ref>.Έτσι μπορούμε να πούμε ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι πιο συμπαγής από άλλα μοντέρνα αξιωματικά συστήματα όπως ας πούμε η [[θεωρία συνόλων]], που συχνά εξασφαλίζουν μόνο την ύπαρξη και όχι την μέθοδο κατασκευής ενός αντικειμένου. Υπάρχουν και περιπτώσεις που εξασφαλίζεται η ύπαρξη αλλά η ίδια θεωρία δεν επιτρέπει την κατασκευή.<ref>Με τις υποθέσεις του Ευκλείδη είναι εύκολο να βρεθεί ένας τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου ή ενός τετραγώνου.Παρ'όλα αυτά στη θεωρία συνόλων δεν είναι το ίδιο εύκολο να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι το άθροισμα των εμβαδών των μερών του. Βλέπε [[Μέτρο Λεμπέγκ]] και [[Banach-Tarski paradox]].</ref> Οι κατασκευαστικές αποδείξεις του Ευκλείδη πολλές φορές αντικαταστάθηκαν από άλλες μη-κατασκευαστικές. Π.χ μερικές αποδείξεις του Πυθαγόρα που περιείχαν άρρητους αριθμούς. Ο Ευκλείδης συχνά χρησιμοποιούσε και την μέθοδο της [[Εις άτοπον απαγωγή|εις άτοπον απαγωγής]]. Η ευκλείδεια γεωμετρία επίσης επιτρέπει και τη μέθοδο της υπέρθεσης κατά την οποία ένα αντικείμενο μεταφέρεται από ένα σημείο του χώρου σε κάποιο άλλο. Για παράδειγμα ή Πρόταση Ι4: η ισότητα τριγώνων μπορεί να αποδειχθεί μετακινώντας ένα απ΄ τα τρίγωνα έτσι ώστε η μια πλευρά του να συμπέσει στην αντίστοιχη ίση πλευρά του άλλου τριγώνου και στη συνέχεια αποδεικνύοντας ότι και οι άλλες δύο πλευρές των τριγώνων συμπίπτουν. Ως εναλλακτική της υπέρθεσης έχουμε μοντέρνα μαθηματικά που χρησιμοποιούν ένα ακόμα έκτο αξίωμα που έχει να κάνει με την ακαμψία του τριγώνου.
 
== Σύστημα μέτρησης και αριθμητική ==
75.745

επεξεργασίες