Βικιπαίδεια

Σειρά: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
TurambarGR (συζήτηση | συνεισφορές)
74 επεξεργασίες
Διόρθωση εκφραστικών λαθών, Αλλαγή συμβόλων ώστε να υπάρχει ομοιομορφία (μέχρι τις ιδιότητες σειρών) και προσθήκη εξωτερικών συνδέσμων
Γραμμή 10:
Για την ακρίβεια, σειρά ονομάζεται το άθροισμα των όρων μιας άπειρης ακολουθίας
 
:<math>s_n = \alpha_1a_1 + \ldots + \alpha_na_n</math>
 
Το παραπάνω το γράφουμε πιο σύντομα χρησιμοποιώντας το σύμβολο του αθροίσματος Σ
 
<math>s = \sum_{n=1}^\infty \alpha_na_n</math>
 
Ένα παράδειγμα είναι η μαθηματική αναπαράσταση του παραδόξου της [[Παράδοξα του Ζήνωνα|διχοτόμησης του Ζήνωνα]]:
Γραμμή 24:
=== Ορισμός ===
Ονομάζουμε σειρά κάθε ''άπειρο άθροισμα'' [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]], [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]], [[Ρητός αριθμός|ρητών αριθμών]] κ.τ.λ., της μορφής:
:: <math>\alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 + \ldots</math>
 
Αν <math>(\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> είναι μια πραγματική [[ακολουθία]], τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια καινούργια ακολουθία <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> ως εξής:
::<math>\ s_1 = \alpha_1a_1</math>
::<math>\ s_2 = \alpha_1a_1 + \alpha_2a_2</math>
::<math>\vdots</math>
::<math>s_n = \alpha_1a_1 + a_2 + \ldots + \alpha_na_n</math>
 
Η ακολουθία <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> ονομάζεται σειρά της <math>(\alpha_na_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> και το όριό της συμβολίζεται με <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_ka_k</math> ή με <math>\alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 + \ldots</math>.
 
Ο όρος <math>\ \alpha_n</math> ονομάζεται n-οστός προσθετέος της σειράς <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_ka_k</math> και ο όρος <math>s_n = \sum_{k = 1}^{n} \alpha_ka_k</math> ονομάζεται n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς.
 
Εξ' ορισμού η σειρά <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> [[Σύγκλιση|"συγκλίνει"]] σε ένα όριο <math>L</math>, αν και μόνο αν η αντίστοιχη ακολουθία των μερικών αθροισμάτων συγκλίνει στο <math>L</math>., Αυτόςδηλαδή: ο ορισμός γράφεται συνήθως ως:<math>L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \Leftrightarrow L = \lim_{kn \rightarrow \infty} S_ks_n.</math>
 
Γενικά αν έχουμε μια συνάρτηση <math>a</math>, με <math>I \xrightarrow{a} G</math>, όπου το <math>I</math> είναι ένα τυχαίο μετρήσιμο σύνολο, τότε η σειρά που παράγεται από το <math>a</math> είναι το τυπικό άθροισμα των στοιχείων <math>a(x) \in G </math>, <math>x \in I</math> και συμβολίζεται με :<math>\sum_{x \in I} a(x).</math> Στην περίπτωση που το ορισμού είναι οι φυσικοί αριθμοί <math>I=\mathbb{N}</math>, η συνάρτηση <math>\mathbb{N} \xrightarrow{a} G</math> είναι μια ακολουθία που συμβολίζουμε ως <math>a(n)=a_n</math>και παίρνουμε τον κλασικό ορισμό της σειράς. Όταν το <math>G</math> είναι υποομάδα, η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων <math>\{S_k\} \subset G</math> που αντιστοιχεί στην ακολουθία <math>\{a_n\} \subset G</math> ορίζεται για κάθε <math>k</math> ως το άθροισμα των όρων <math>a_0,a_1,\cdots,a_k</math>
 
:<math>S_ks_n = \sum_{nk=0}^{kn}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_ka_n.</math> ▼
Όταν το πεδίο ορισμού είναι οι φυσικοί αριθμοί <math>I=\mathbb{N}</math>, η συνάρτηση <math>\mathbb{N} \xrightarrow{a} G</math> είναι μια ακολουθία που συμβολίζουμε ως <math>a(n)=a_n</math>. Μια σειρά φυσικών αριθμών είναι ένα διατεταγμένο τυπικό άθροισμα και την συμβολίζουμε <math>\sum_{n=0}^{\infty}</math> από <math>\sum_{n \in \mathbb{N}}</math>, για να δώσουμε έμφαση στην διάταξη των φυσικών αριθμών. Έτσι καταλήγουμε στο :<math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots.</math>.
 
Όταν το <math>G</math> είναι υποομάδα, η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων <math>\{S_k\} \subset G</math> που αντιστοιχεί στην ακολουθία <math>\{a_n\} \subset G</math> ορίζεται για κάθε <math>k</math> ως το άθροισμα των όρων <math>a_0,a_1,\cdots,a_k</math>
▲:<math>S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.</math>
 
Όταν η υποομάδα <math>G</math> είναι και τοπολογικός χώρος, τότε η σειρά <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> "συγκλίνει" στο στοιχείο <math>L \in G</math> αν και μόνο αν η αντίστοιχη ακολουθία μερικών αθροισμάτων <math>\{S_k\}</math> συγκλίνει στο <math>L</math>. Ο ορισμός αυτός συνήθως γράφεται ως :<math>L = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \Leftrightarrow L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k.</math>.▼
 
▲Όταν η υποομάδα <math>G</math> είναι και τοπολογικός χώρος (οπότε μπορούμε να ορίσουμε σύγκλιση), τότε η σειρά <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> "συγκλίνει" στο στοιχείο <math>L \in G</math>, αν και μόνο αν η αντίστοιχη ακολουθία μερικών αθροισμάτων <math>\{S_k\}</math> συγκλίνει στο <math>L</math>. Ο ορισμός αυτός συνήθως γράφεται ως :<math>L = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \Leftrightarrow L = \lim_{kn \rightarrow \infty} S_ks_n.</math>.
:
===Συγκλίνουσες σειρές===
ΜιαΌπως αναφέρθηκε, μια σειρά &thinsp; ∑''a<submath>\sum_{n=0}^{\infty} a_n</submath>''&thinsp; συγκλίνει ή είναι συγκλίνουσα όταν η ακολουθία ''S''<submath>''N''s_n</submath> των μερικών αθροισμάτων έχει ένα ορισμένο όριο ακολουθίαςσυγκλίνει. Άν το όριο της ''S''<submath>''N''s_n</submath>'' είναι άπειρο ή δεν υπάρχει, η σειρά αποκλίνει. Όταν υπάρχει το όριο των μερικών αθροισμάτων υπάρχει, τότε ονομάζεται άθροισμα την σειράς.
: <math>\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{Nn\to\infty} S_NS_n = \lim_{Nn\to\infty} \sum_{nk=0}^Nn a_na_k.</math>
 
Ένας εύκολος τρόπος για να συγκλίνει μια σειρά είναι αν όλοι οι όροι ''a''<sub>''n''</sub> είναι μηδέν για ''n'' αρκούντως μεγάλο. Μια τέτοια σειρά προσδιορίζεται ως πεπερασμένο άθροισμα.
 
Η ουσία της μελέτης των σειρών είναι το να χρησιμοποιηθούν οι ιδιότητες τους ώστε να αποδειχθεί πως συγκλίνουν ακόμη και αν όροι τους είναι διάφοροι του μηδενός. Για παράδειγμα:
:<math> 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots.</math>▼
 
Σκεφτόμαστε πως μπορούμε να παραστήσουμε την παραπάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών (μήκους ίσου με 2) χωρίζοντάς την σε τμήματα 1, ½, ¼, κ.τ.λ. Παρατηρούμε πως η σειρά έχει ένα άνω φράγμα, που είναι μάλιστα το 2. Συμβολίζοντας την σειρά με ''S'' βλέπουμε πως
:<math>S/2 = \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots}{2} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16} +\cdots.</math>
 
Έτσι,
:<math>S-S/2 = 1 \Rightarrow S = 2.\,\!</math>
 
Επεκτείνοντας και σε άλλες μαθηματικές ιδιότητες, βλέπουμε πως και στο παράδειγμα των περιοδικών δεκαδικών αριθμών :<math>x = 0.111\dots \, </math>
 
μιλάμε για σειρές
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}.</math>
 
===Παραδείγματα===
*'''Γεωμετρικές Σειρές'''. Μια γεωμετρική σειρά είναι μια σειρά που ο κάθε όρος της προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το προηγούμενο με μια σταθερά. Ένα απλό παράδειγμα γεωμετρικής σειράς είναι η
*:<math> 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots.</math> Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι η παραπάνω σειρά συγκλίνει, αν ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία: Αρχικά συμβολίζουμε το συνολικό άθροισμα με <math>S</math> και παρατηρούμε ότι
::<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.</math>
▲*:<math>S/2 1= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+}{2} = \frac{1}{2^n}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16} +\cdots.</math> Επομένως,
Γενικά οι γεωμετρικές σειρές
*:<math>S-S/2 = 1 \Rightarrow S = 2.\,\!</math> Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο περιοδικός ρητός αριθμός <math>x = 0.\overline{1} = 0.111\dots \, </math> είναι το όριο της σειράς <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}.</math> Αποδεικνύεται σχετικά εύκολα ότι η γεωμετρική σειρά <math>\sum_{n=0}^\infty z^n</math> συγκλίνει, αν και μόνο αν <math>|z|<1</math>.
::<math>\sum_{n=0}^\infty z^n</math>
συγκλίνουν αν και μόνο αν |''z''| < 1.
 
*'''Αριθμητικο-Γεωμετρικές σειρές''': Μια αριθμητικο-γεωμετρική σειρά είναι η γενίκευση της γεωμετρικής σειράς, για παράδειγμα:
::<math>3 + {5 \over 2} + {7 \over 4} + {9 \over 8} + {11 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{(3+2n) \over 2^n}.</math>
 
*Μια'''Η Αρμονική Σειρά''': Η αρμονική σειρά ::<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.</math> είναι αποκλίνουσα.
*'''Οι P<math>p</math>-σειρές :''': Αποτελούν γενίκευση της αρμονικής σειράς και ορχζόνται ως <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^rp}</math> συγκλίνουναποκλίνουν για ''r'' <math>p\geq1</math> 1 και αποκλίνουνσυγκλίνουν για ''r'' ≤ <math>p<1</math>. Ως συνάρτηση του "r"<math>p</math> το άθροισμα αυτής της σειράς είναι η Ζήτα συνάρτηση του Riemann.▼
είναι αποκλίνουσα.
 
*Μια σειρά εναλλασσόμενου προσήμου ::<math>1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}=\ln(2).</math>
 
▲*Οι P-σειρές ::<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}</math> συγκλίνουν για ''r'' > 1 και αποκλίνουν για ''r'' ≤ 1. Ως συνάρτηση του "r" το άθροισμα αυτής της σειράς είναι Ζήτα συνάρτηση του Riemann.
 
*'''Σειρές Εναλλασόμενου προσήμου''': Αν δίνεται η ακολουθία <math>a_n</math>, τότε η αντίστοιχη σειρά εναλλασόμενου προσήμου είναι η <math>\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n</math>. Για παράδειγμα η σειρά που προκύπτει από την αρμονική με εναλλασόμενο πρόσημο συγκλίνε, <math>1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}=\ln(2).</math>
*Μια τηλεσκοπική σειρά ::<math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math> συγκλίνει αν το όριο "L" ως "n" πάει στο άπειρο. Τότε η τιμή της σειράς είναι ''b''<sub>1</sub> &minus; ''L''.
 
*'''Τηλεσκοπικές Σειρές''': Είναι σειρές της μορφής <math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math>. Αποδεικνύεται εύκολα ότι μια τέτοια σειρά συγκλίνει, αν <math>\lim_{n\rightarrow\infty}b_n = 0</math>, αφού
===Ανάλυση και μερικά αθροίσματα ως χειρισμοί ακολουθιών===
 
<math>s_n = \sum_{k=1}^n (b_k-b_{k+1}) = (b_1-b_2) + (b_2-b_3) + (b_3-b_4) + \dots + (b_n-b_{n+1})= b_1 - b_{n+1}.</math>
Τα μερικά αθροίσματα παίρνουν ως είσοδο μια ακολουθία {&nbsp;''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;} και δίνουν ως αποτέλεσμα μια άλλη
{&nbsp;''S''<sub>''N''</sub>&nbsp;}. Έτσι σχηματίζεται μια ταυτοτική πράξη ακολουθιών. Επίσης η συνάρτηση αυτή είναι γραμμική και έτσι στον διανυσματικό χώρο γίνεται γραμμικός μετασχηματισμός. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι η πεπερασμένη διαφορά Δ.
 
== Ιδιότητες των σειρών ==
Οι σειρές δεν κατηγοριοποιούνται μόνο σύμφωνα με το αν συγκλίνουν ή όχι, αλλά και σύμφωνα με τις ιδιότητες των όρων a<submath>na_n</submath>, τον τύπο της σύγκλισης, την τάξη του a<submath>na_n</submath> κ.τ.λ..
 
===Μη αρνητικοί όροι===
Γραμμή 194 ⟶ 169 :
 
υπό την προϋπόθεση ότι η τιμή ∞ επιτρέπεται για το σύνολο των σειρών.
 
φ
 
==== Καλώς διατεταγμένο σύνολο ====
Γραμμή 210 ⟶ 187 :
 
==Εξωτερικοί σύνδεσμοι==
# ΕΑΠ, [http://edu.eap.gr/pli/pli12/shmeiwseis/seires.pdf Σημειώσεις στις Σειρές]
# Α. Γιαννόπουλος, [http://users.math.uoc.gr/~tertikas/giannopoulos_II.pdf Απειροστικός Λογισμός ΙΙ], τμήμα Μαθηματικών πανεπιστήμιο Κρήτης
# MathStudies Blog, [https://www.mathstudies.eu/single-post/2017/07/12/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82-%CF%83%CF%84%CE%B9%CF%82-%CE%A3%CE%B5%CE%B9%CF%81%CE%AD%CF%82 Σημειώσεις στις Σειρές].
# Βιβλίο Thomas, κεφάλαιο [http://legacy.cup.gr/Files/files/chapters/THOMAS_CALCULUS-ch8.pdf Άπειρες Σειρές]
# ρ
 
{{βικιλεξικό}}
{{commonscat}}
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Σειρά"