Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

μ
μβελτιώσεις
[[Αρχείο:Apollonius problem typical solution.svg|thumb|right|Σχήμα 1: Μία λύση (με ροζ) στο Απολλώνιο πρόβλημα. Οι δοσμένοι κύκλοι σημειώνονται με μαύρο.]]
 
[[Αρχείο:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg|thumb|right|Σχήμα 2: Τέσσερα συμπληρωματικά ζεύγη λύσεων του Απολλώνιου προβλήματος. Οι δοσμένοι κύκλοι σημειώνονται με μαύρο.]]
 
Στην [[Ευκλείδεια γεωμετρία|Ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου]] το '''Απολλώνιο πρόβλημα''' συνίσταται στην κατασκευή [[Κύκλος|κύκλων]] που να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο (Σχήμα 1). Το πρόβλημα έθεσε και έλυσε ο [[Απολλώνιος ο Περγαίος]] (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.χ.) στο έργο του ''{{πολυτονικό|Ἐπαφαί}}''. Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί και σώζονται μόνο αναφορές στα αποτελέσματά του από τον [[Πάππος|Πάππο]]. Για τρεις δεδομένους κύκλους εν γένει υπάρχουν οκτώ διαφορετικοί κύκλοι που εφάπτονται σε αυτούς (Σχήμα 2) και κάθε κύκλος περικλείει ή όχι τους τρεις κατά διαφορετικό τρόπο.
 
Το 16ο αιώνα, ο [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεμνόμενες [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολές]] χωρίς όμως να χρησιμοποιεί μόνο [[Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη|κατασκευές με κανόνα και διαβήτη]]. Ο [[Φρανσουά Βιέτ]] κατέληξε σε μία τέτοια λύση εργαζόμενος με απλούστερες περιπτώσεις, θεωρώντας μηδενική την [[Ακτίνα (γεωμετρία)|ακτίνα]] ενός από τους τρεις δεδομένους κύκλους (εκφυλίζοντας τον σε [[σημείο]]) είτε θεωρώντας την άπειρη (οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε [[ευθεία]]). Η προσέγγιση του Βιέτ, η οποία χρησιμοποιεί απλουστευμένες περιπτώσεις για να λύσει πολυπλοκότερες θεωρείται μία από τις πιθανές ανακατασκευές της λύσης του Απολλώνιου. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν απλουστεύθηκε από τον [[Ισαάκ Νιούτον]], ο οποίος απέδειξε ότι το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι ισοδύναμο με την εύρεση ενός σημείου με γνωστές τις διαφορές των αποστάσεών του από τρία γνωστά σημεία. Αυτό έχει εφαρμογή στην πλοήγηση και σε συστήματα προσδιορισμού θέσεως όπως το [[Συσκευή Λοράν|LORAN]].
 
== Μέθοδοι επίλυσης ==
=== Διατεμνόμενες υπερβολές ===
[[Αρχείο:Apollonius hyperbolic no eqs black.svg|thumb|right|Σχήμα 3: Δύο δεδομένοι κύκλοι (μαύρο) και ένας εφαπτόμενος σε αυτούς κύκλος (ροζ). Οι αποστάσεις των κέντρων τους ''d''<sub>1</sub> και ''d''<sub>2</sub> ισούται με {{nowrap|''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>''s''</sub>}} και {{nowrap|''r''<sub>2</sub> + ''r''<sub>''s''</sub>}}, αντίστοιχα, έτσι η διαφορά τους είναι ανεξάρτητη του ''r''<sub>''s''</sub>.]]
 
Η επίλυση του [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] (1596) βασίζεται στην τομή δύο [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολών]].<ref name="van_roomen_1596"/><ref name="van roomen by newton"/> Έστω οι δεδομένοι κύκλοι ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub> και ''C''<sub>3</sub>. Ο φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα λύνοντας το απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης των κύκλων που είναι εφαπτόμενοι σε ''δύο'' δεδομένους κύκλους, όπως ο ''C''<sub>1</sub> και ο ''C''<sub>2</sub>. Παρατήρησε ότι το κέντρο του εφαπτόμενου κύκλου πρέπει να βρίσκεται επί [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολής]] της οποίας οι [[εστία (γεωμετρία)|εστίες]] είναι τα κέντρα των δεδομένων κύκλων. Για να γίνει πιο κατανοητό αυτό έστω οι ακτίνες του κύκλου-λύση και των δεδομένων κύκλων ''r''<sub>''s''</sub>, ''r''<sub>''1''</sub> και ''r''<sub>''2''</sub>, αντίστοιχα (Σχήμα 3). Η απόσταση ''d''<sub>1</sub> μεταξύ των κέντρων της λύσης και του ''C''<sub>1</sub> είναι είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> + ''r''<sub>''1''</sub>}} είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> − ''r''<sub>''1''</sub>}} ανάλογα με το αν οι κύκλοι έχουν εκλεγεί να εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά αντίστοιχα. Παρομοίως η απόσταση ''d''<sub>2</sub> μεταξύ των κέντρων του κύκλου-λύση και του ''C''<sub>2</sub> είναι είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> + ''r''<sub>''2''</sub>}} είτε {{nowrap|''r''<sub>''s''</sub> − ''r''<sub>''2''</sub>}} ξανά αναλόγως με των τρόπο που εφάπτονται. Έτσι η διαφορά {{nowrap|''d''<sub>1</sub> − ''d''<sub>2</sub>}} μεταξύ αυτών των αποστάσεων είναι πάντα μία σταθερά η οποία είναι ανεξάρτητη του ''r''<sub>''s''</sub>. Αυτή η ιδιότητα, της σταθερής διαφοράς μεταξύ των αποστάσεων από τις εστίες χαρακτηρίζει τις υπερβολές, έτσι τα πιθανά κέντρα του κύκλου-λύση βρίσκονται επί μίας υπερβολής. Μία δεύτερη υπερβολή μπορεί να σχεδιαστεί από το ζεύγος των δεδομένων κύκλων ''C''<sub>2</sub> και ''C''<sub>3</sub>, όπου η εσωτερική ή εξωτερική επαφή της λύσης πρέπει να εκλεγεί σε συνέπεια με την πρώτη υπερβολή. Η τομή αυτών των δύο υπερβολών (αν υπάρχει) δίνει το κέντρο του κύκλου-λύση που έχει τις επιλεγμένες εσωτερικές ή εξωτερικές επαφές προς τους τρεις δεδομένους κύκλους. Το πλήρες σύνολο των λύσεων του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να βρεθεί αν ληφθούν υπόψη όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί εσωτερικών και εξωτερικών επαφών του κύκλου-λύση προς τους τρεις δεδομένους.
 
Ο [[Ισαάκ Νιούτον]] (1687) βελτίωσε την λύση του φαν Ρόομεν, έτσι ώστε τα κέντρα του κύκλου-λύση να βρίσκονται στην τομή μιας ευθείας και ενός κύκλου.<ref name="Newton_1687"/> Ο Νιούτον διατύπωσε το απολλώνιο πρόβλημα ως πρόβλημα [[τριπλευρισμός|τριπλευρισμού]] (''trilateration''), στον εντοπισμό θέσης του σημείου '''Ζ''' από τρία δεδομένα σημεία '''A''', '''B''' και '''C''', τέτοια ώστε οι αποστάσεις από το '''Z''' στα τρία δεδομένα σημεία να έχουν γνωστές τιμές.<ref name="Hoshen 1996"/> Αυτά τα τέσσερα σημεία αντιστοιχούν στο κέντρο του κύκλου-λύση ('''Z''') και στα κέντρα των δεδομένων κύκλων ('''A''', '''B''' and '''C''').
[[Αρχείο:Apollonius circle definition labels.svg|thumb|left|Ο [[γεωμετρικός τόπος]] των σημείων με σταθερό λόγο αποστάσεων ''d''<sub>1</sub>/''d''<sub>2</sub> προς δύο σταθερά σημεία είναι κύκλος.]]
 
Αντί να επιλύσει για τις δύο υπερβολές, ο Νιούτον κατασκεύασε τις [[κωνικές τομές|διευθετούσες ευθείες]]. Για κάθε υπερβολή, ο λόγος των αποστάσεων από ένα σημείο '''Z''' προς μία εστία '''A''' και προς την διευθετούσα είναι μία σταθερά που καλείται [[εκκεντρότητα]]. Οι δύο διευθετούσες τέμνονται στο σημείο '''T''' και από τους δύο γνωστούς λόγους των αποστάσεών τους, ο Νιούτον κατασκεύασε μία ευθεία που περνά από το το '''Τ''' επί της οποίας πρέπει να βρίσκεται και το '''Z'''. Εντούτοις ο λόγος TZ/TA είναι επίσης γνωστός, έτσι το '''Z''' βρίσκεται επίσης σε ένα γνωστό κύκλο., αφού ο Απολλώνιος έδειξε ότι ένας κύκλος μπορεί να οριστεί ως το σύνολο των σημείων που έχουν ένα δεδομένο σταθερό λόγο αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία. (Αυτός ο ορισμός είναι και η βάση των [[διπολικές συντεταγμένες|διπολικών συντεταγμένων]]) Έτσι οι λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα είναι τα τομές ευθείας με κύκλο.
Όπως περιγράφεται [[#ειδικές περιπτώσεις|παρακάτω]], το απολλώνιο πρόβλημα έχει δέκα ειδικές περιπτώσεις εξαρτώμενες από την φύση των δοσμένων αντικειμένων, τα οποία μπορεί να είναι κύκλος ('''C'''), ευθεία ('''L''') ή σημείο ('''P'''). Είθισται αυτές οι δέκα περιπτώσεις να κωδικοποιούνται με τρία γράμματα όπως '''ΚΚΣ'''.<ref name="special cases" /> Ο Βιέτ έλυσε και τις δέκα περιπτώσεις με κανόνα και διαβήτη και χρησιμοποίησε τις λύσεις των απλούστερων περιπτώσεων για την επίλυση των πιο σύνθετων.<ref name="Dörrie 1965"/><ref name="viete_1970"/>
 
[[Αρχείο:Apollonius solution breathing nolabels.gif|thumb|right|Σχήμα 4: Η επαφή μεταξύ των κύκλων διατηρείται αν οι ακτίνες τους αλλάξουν ισόποσα. Ένας κύκλος-λύση (ροζ) πρέπει να μικρύνει ή να μεγαλώσει όπως και ο εσωτερικά εφαπτόμενός του δοσμένος κύκλος (ο μαύρος δεξιά), ενώ οι εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι (οι δύο μαύροι αριστερά) το ακριβώς αντίθετο.]]
 
Ο Βιέτ ξεκίνησε με την επίλυση της περίπτωσης '''ΣΣΣ''' (τρία σημεία) ακολουθώντας την μέθοδο του [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]] όπως περιγράφεται στα [[Στοιχεία]]. Από αυτό εξήγαγε ένα [[λήμμα (μαθηματικά)|λήμμα]] που αντιστοιχεί στο θεώρημα [[δύναμη σημείου|δύναμης σημείου]], το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση '''ΕΣΣ''' (ευθεία και δύο σημεία). Ακολουθώντας την μέθοδο του Ευκλείδη έλυσε την περίπτωση '''ΕΕΕ''' (τρεις ευθείες) χρησιμοποιώντας τις [[διχοτόμος|διχοτόμους]]. Από εκεί εξήγαγε ένα λήμμα για την κατασκευή καθέτου στην διχοτόμο που περνά από ένα σημείο, το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση '''ΕΕΣ'''. Αυτέ είναι οι πρώτες τέσσερις περιπτώσεις του προβλήματος που δεν έχουν να κάνουν με κύκλους.
 
=== Μέθοδοι αντιστροφής ===
[[Αρχείο:Inversion illustration1.svg|right|thumb|Σχήμα 5: Αντιστροφή σε ένα κύκλο. Το σημείο ''P''<nowiki> '</nowiki> είναι το αντίστροφο του σημείου ''P'' ως προς τον κύκλο.]]
Μία φυσική τοποθέτηση του απολλώνιου προβλήματος είναι στην [[γεωμετρία της αντιστροφής]].<ref name="coxeter greitzer"/><ref name="bruen_1983"/> Η βασική στρατηγική των μεθόδων αντιστροφής είναι ο μετασχηματισμός ενός δοσμένου απολλώνιου προβλήματος σε ένα άλλο πιο απλό να λυθεί, οι λύσεις του αρχικού προβλήματος μπορούν να βρεθούν από τις λύσεις του μετασχηματισμένου προβλήματος με την αναστροφή του μετασχηματισμού. Οι υποψήφιοι μετασχηματισμοί πρέπει να μετατρέπουν ένα απολλώνιο πρόβλημα σε ένα άλλο, έτσι πρέπει να μετασχηματίζουν τα δοσμένα σημεία, κύκλους και ευθείες σε άλλα σημεία, κύκλους και ευθείες και όχι άλλα σχήματα. Η αντιστροφή του κύκλου έχει αυτή την ιδιότητα και επιτρέπει την συνετή εκλογή της ακτίνας και του κέντρου του κύκλου αντιστροφής. Άλλοι υποψήφιοι μετασχηματισμοί συμπεριλαμβάνουν τις [[Ισομετρίες του Ευκλείδιου επιπέδου]], εντούτοις δεν απλοποιούν το πρόβλημα καθώς απλώς [[μεταφορά (μαθηματικά)|μεταφέρουν]], [[περιστροφή (μαθηματικά)|περιστρέφουν]] και [[ανάκλαση (μαθηματικά)|ανακλούν]] το αρχικό πρόβλημα.
 
 
=== Ζεύγη λύσεων με αντιστροφή ===
[[Αρχείο:Apollonius problem radical center.svg|thumb|right|Σχήμα 6: Ένα συζυγές ζεύγος λύσεων του απολλώνειου προβλήματος (ροζ κύκλοι) με τους δοσμένους μαύρους κύκλους.]]
Οι λύσεις του απολλώνιου προβλήματος εν γένει συναντώνται ανά ζεύγη, για κάθε κύκλο-λύση υπάρχει ένας συζυγής κύκλος-λύση (Σχήμα&nbsp;6).<ref name="Dörrie 1965"/> Ένας κύκλος-λύση αποκλείει τους δοσμένους κύκλους που περικλείονται από τον συζυγή του, και αντίστροφα. Για παράδειγμα στο Σχήμα&nbsp;6 ο ένας κύκλος-λύση (ροζ, πάνω αριστερά) περικλείει τους δύο δοσμένους κύκλους (μαύροι), αλλά αποκλείει τον τρίτο, αντίστοιχα ο συζυγής του (επίσης ροζ, κάτω αριστερά) περικλείει τον τρίτο δοσμένο κύκλο αλλά αποκλείει τους άλλους δύο. Οι δύο συζυγείς λύσεις σχετίζονται μέσω [[γεωμετρία της αντιστροφής|αντιστροφής]], βάσει του ακόλουθου συλλογισμού.
 
Αν δύο από τους τρεις δοσμένους κύκλους δεν τέμνονται, το κέντρο της αντιστροφής μπορεί να επιλεχθεί ώστε οι αυτοί οι δύο δοσμένοι κύκλοι να γίνουν ομόκεντροι.<ref name="coxeter_1968" /><ref name="bruen_1983"/> Με αυτή την αντιστροφή οι κύκλοι-λύσεις πρέπει να βρίσκονται εντός του [[Δακτύλιος (γεωμετρία)|δακτυλίου]] που σχηματίζεται από τους ομόκεντρους κύκλους. Συνεπώς ανήκουν σε δύο μονοπαραμετρικές οικογένειες. Στην πρώτη οικογένεια (Σχήμα&nbsp;7), οι λύσεις δεν περικλείουν τον εσωτερικό ομόκεντρο κύκλο ενώ στην δεύτερη οικογένεια (Σχήμα&nbsp;8), οι κύκλοι-λύσεις περικλείουν τον εσωτερικό ομόκεντρο κύκλο. Υπάρχουν εν γένει τέσσερις λύσεις για κάθε οικογένεια, δίνοντας συνολικά οκτώ πιθανές λύσεις, διατηρώντας την συνέπεια με την [[#Αλγεβρικές λύσεις|αλγεβρική λύση]].
 
[[Αρχείο:Apollonius annulus no eqs black.svg|thumb|left|Σχήμα 7: Ένας κύκλος-λύση (ροζ) στην πρώτη οικογένεια βρίσκεται μεταξύ ομόκεντρων δοθέντων κύκλων (μαύροι). Το διπλάσιο της ακτίνας της λύσης ''r''<sub>''s''</sub> ισούται με την διαφορά {{nowrap|''r''<sub>''outer''</sub> − ''r''<sub>''inner''</sub>}} των εξωτερικών και εσωτερικών ακτίνων, ενώ η διπλάσια κεντρική απόσταση ''d''<sub>''s''</sub> ισούται με το το άθροισμά τους.]]
 
[[Αρχείο:Apollonius annulus2 no eqs black.svg|thumb|left|Σχήμα 8: Ένας κύκλος-λύση (ροζ) στην δεύτερη οικογένεια περικλείει τον εσωτερικό δοσμένο κύκλο (μαύρος). Η διπλάσια ακτίνα του κύκλου-λύση ''r''<sub>''s''</sub> ισούται με το άθροισμα{{nowrap|''r''<sub>''outer''</sub> + ''r''<sub>''inner''</sub>}} των ακτίνων του εσωτερικού και εξωτερικού κύκλου, ενώ η διπλάσια κεντρική απόστασή ''d''<sub>''s''</sub> ισούται με την διαφορά τους.]]
 
Όταν δύο από τους δοσμένους κύκλους είναι ομόκεντροι, το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να λυθεί εύκολα χρησιμοποιώντας μία μέθοδο του [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους|Γκάους]].<ref name="gauss_1810" /> Οι ακτίνες των τριών δεδομένων κύκλων είναι γνωστές, όπως και η απόσταση ''d''<sub>non</sub> από το κοινό κέντρο των ομόκεντρων στο κέντρο του μη ομόκεντρου κύκλου (Σχήμα&nbsp;7). Ο κύκλος λύση μπορεί να καθοριστεί από την ακτίνα του, ''r''<sub>s</sub>, την γωνία θ, και τις αποστάσεις ''d''<sub>s</sub> και ''d''<sub>T</sub> από το κέντρο του στο κοινό κέντρο των ομόκεντρων και στο κέντρο του μη ομόκεντρου κύκλου αντίστοιχα. Η ακτίνα και η απόσταση ''d''<sub>s</sub> είναι γνωστά (Σχήμα&nbsp;7) και η απόσταση ''d''<sub>T</sub> = ''r''<sub>s</sub> ± ''r''<sub>non</sub>, αναλόγως με το αν ο κύκλος λύση είναι εφαπτόμενος εσωτερικά ή εξωτερικά στον μη ομόκεντρο κύκλο. Έτσι από τον [[Νόμος συνημιτόνων|νόμο των συνημιτόνων]]
 
=== Η επίλυση του Ζεργκόν ===
[[Αρχείο:Apollonius problem Gergonne tangent lines.svg|thumb|right|Σχήμα 9: Οι δύο εφαπτόμενες στα δύο σημεία επαφής ενός δοσμένου κύκλου τέμνονται στον [[ριζικό άξονα]] ''R'' (κόκκινη ευθεία) των δύο κύκλων λύσεων (ροζ). Τα τρία σημεία τομής στο ''R'' είναι οι πόλοι των ευθειών που συνδέουν τα μπλε σημεία επαφής σε κάθε δεδομένο κύκλο (μαύροι).]]
 
Η προσέγγιση του Ζεργκόν είναι να θεωρήσει τους κύκλους-λύσεις σε ζεύγη.<ref name="Dörrie 1965"/> Έστω ένα ζεύγος κύκλων λύσεων που σημειώνεται ως ''C''<sub>A</sub> και ''C''<sub>B</sub> (οι δύο ροζ κύκλοι στο Σχήμα&nbsp;6) και έστω τα σημεία επαφής τους με τους δοσμένους κύκλους '''A'''<sub>1</sub>, '''A'''<sub>2</sub>, '''A'''<sub>3</sub>, και '''B'''<sub>1</sub>, '''B'''<sub>2</sub>, '''B'''<sub>3</sub>, αντίστοιχα. Η επίλυση του Ζεργκόν στοχεύει στον εντοπισμό αυτών των σημείων και έτσι στην λύση για αυτούς τους δύο κύκλους. Η ενόραση του Ζεργκόν ήταν ότι η ευθεία ''L''<sub>1</sub> μπορούσε να κατασκευαστεί έτσι ώστε τα '''A'''<sub>1</sub> και '''B'''<sub>1</sub> να βρίσκονται οπωσδήποτε πάνω της, αυτά τα σημεία μπορούν να αναγνωριστούν ως τα σημεία τομής της ''L''<sub>1</sub> με τον δοσμένο κύκλο ''C''<sub>1</sub> (Σχήμα&nbsp;6). Τα υπόλοιπα τέσσερα σημεία επαφής μπορούν να εντοπιστούν με παρόμοιο τρόπο, βρίσκοντας τις ευθείες ''L''<sub>2</sub> and ''L''<sub>3</sub> που περιέχουν τα '''A'''<sub>2</sub> και '''B'''<sub>2</sub>, και '''A'''<sub>3</sub> και '''B'''<sub>3</sub> αντίστοιχα. Για την κατασκευή μιας ευθείας όπως η ''L''<sub>1</sub>, δύο σημεία πρέπει να αναγνωριστούν ότι βρίσκονται πάνω της, αλλά αυτά τα σημεία δεν είναι κατ' ανάγκη σημεία επαφής. Ο Ζεργκόν μπόρεσε να αναγνωρίσει δύο άλλα σημεία για κάθε μία από τις τρεις ευθείες. Ένα από τα δύο σημεία είχε ήδη αναγνωριστεί: το [[ριζικό κέντρο]] '''G''' κείται και στις τρεις ευθείες (Σχήμα &nbsp;6).
Για τον εντοπισμό ενός δεύτερου σημείου των ευθειών ''L''<sub>1</sub>, ''L''<sub>2</sub> και ''L''<sub>3</sub>, ο Ζεργκόν παρατήρησε ότι υπάρχει παλινδρομική σχέση μεταξύ αυτών των ευθειών και του ριζικού άξονα ''R'' των κύκλων λύσεων, ''C''<sub>A</sub> και ''C''<sub>B</sub>. Για να γίνει κατανοητή αυτή η σχέση, ας θεωρηθούν δύο εφαπτόμενες ευθείες στον κύκλο ''C''<sub>1</sub> στα σημεία επαφής '''A'''<sub>1</sub> και '''B'''<sub>1</sub> με τον κύκλο-λύση. Η τομή αυτών των εφαπτόμενων είναι ο [[πόλος (γεωμετρία)|πόλος]] της ''L''<sub>1</sub> στον ''C''<sub>1</sub>. Αφού οι αποστάσεις από τον πόλο στα σημεία επαφής '''A'''<sub>1</sub> και '''B'''<sub>1</sub> είναι ίσες, ο πόλος πρέπει επίσης να βρίσκεται στον ριζικό άξονα ''R'' των κύκλων-λύσεων, εξ ορισμού (Σχήμα&nbsp;9). Η σχέση μεταξύ των των πόλων και των πολικών ευθειών είναι παλινδρομική, αν ο πόλος της ''L''<sub>1</sub> στον''C''<sub>1</sub> βρίσκεται στον ''R'', ο πόλος του ''R'' στον ''C''<sub>1</sub> βρίσκεται αντίστοιχα στην ''L''<sub>1</sub>. Έτσι αν μπορεί να κατασκευαστεί ο ''R'', μπορεί να βρεθεί ο πόλος του '''P'''<sub>1</sub> στον ''C''<sub>1</sub> και έτσι να βρεθεί το ζητούμενο δεύτερο σημείο της ''L''<sub>1</sub> (Σχήμα &nbsp;10).
 
[[Αρχείο:Apollonius problem Gergonne poles.svg|thumb|left|Figure 10: Οι πόλοι (κόκκινα σημεία) του ριζικού άξονα ''R'' στους τρεις δοσμένους κύκλους βρίσκονται στις πράσινες γραμμές που ενώνουν τα σημεία επαφής. Αυτές οι ευθείες μπορούν να κατασκευαστούν από τους πόλους και το [[ριζικό κέντρο]] (πορτοκαλί).]]
 
Ο Ζεργκόν βρήκε τον ριζικός άξονας ''R'' των άγνωστων κύκλων λύσεων ως εξής. Κάθε ζεύγος κύκλων έχει δύο [[ομοθετικό κέντρο|ομοθετικά κέντρα]], αυτά τα δύο σημεία είναι οι δύο πιθανές τομές των δύο εφαπτόμενων ευθειών στους δύο κύκλους. Έτσι, οι τρεις δοσμένοι κύκλοι έχουν έξι ομοθετικά κέντρα, δύο για κάθε διακριτό ζεύγος κύκλων. Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτά τα έξι σημεία βρίσκονται σε τέσσερις ευθείες, τρία σημεία σε κάθε ευθεία, επιπλέον κάθε ευθεία αντιστοιχεί στον [[ριζικό άξονα]] ενός εν δυνάμει ζεύγους κύκλων-λύσεων. Για να το αποδείξει αυτό ο Ζεργκόν θεώρησε ευθείες που περνούν από τα αντίστοιχα σημεία επαφής των δοσμένων κύκλων, π.χ. η ευθεία που ορίζεται από το '''A'''<sub>1</sub>/'''A'''<sub>2</sub> και η ευθεία που ορίζεται από το '''B'''<sub>1</sub>/'''B'''<sub>2</sub>. Έστω '''X'''<sub>3</sub> το ομοθετικό κέντρο των δύο κύκλων ''C''<sub>1</sub> and ''C''<sub>2</sub>, τότε τα '''A'''<sub>1</sub>/'''A'''<sub>2</sub> και'''B'''<sub>1</sub>/'''B'''<sub>2</sub> είναι αντιομόλογα σημεία και οι ευθείες τους τέμνονται στο '''X'''<sub>3</sub>. Συνεπάγεται λοιπόν ότι τα γινόμενα των αποστάσεων είναι ίσα.
 
=== Αριθμός λύσεων ===
[[Αρχείο:Apollonius no solutions black.svg|thumb|right|Σχήμα 11: Μία εκδοχή του απολλώνιου προβλήματος χωρίς λύση. Ένας κύκλος λύση (ροζ) πρέπει να τέμνει τον μαύρο διαγραμμισμένο δοσμένο κύκλο για να εφάπτεται και στους δύο άλλους δοσμένους κύκλους (επίσης μαύροι).]]
 
Το πρόβλημα της απαρίθμησης του αριθμού των λύσεων διαφορετικών τύπων του απολλώνιου προβλήματος ανήκει στο πεδίο της [[απαριθμητική γεωμετρία|απαριθμητικής γεωμετρίας]].<ref name="bruen 1983"/><ref name="dreschler sterz">{{cite journal|journal=Acta Mathematica Universitatis Comenianae|volume=68|issue=1|year=1999|pages=37–47|title=Apollonius' contact problem in ''n''-space in view of enumerative geometry|author = Dreschler K, Sterz U|url=http://www.emis.de/journals/AMUC/_vol-68/_no_1/_drechsl/drechsle.html}}</ref> Ο γενικός αριθμός λύσεων για κάθε ένα από τους δέκα τύπους του απολλώνιου προβλήματος δίνεται στον Πίνακα&nbsp;1. Εντούτοις, ειδικές διατάξεις των δοσμένων στοιχείων μπορεί να αλλάξουν τον αριθμό των λύσεων. Για παράδειγμα το απολλώνιο πρόβλημα δεν έχει λύση αν ένας από τους κύκλους χωρίζει τους άλλους δύο (Σχήμα&nbsp;11), για να εφάπτεται και στους δύο μη διαγραμμισμένους κύκλους, ο κύκλος λύση θα πρέπει να τέμνει τον διαγραμμισμένο. Αντίστροφα αν όλοι οι δοσμένοι κύκλοι εφάπτονται στο ίδιο σημείο τότε ''οποιοσδήποτε'' κύκλος εφάπτεται σε αυτό το σημείο είναι λύση του προβλήματος, τέτοιες περιπτώσεις του απολλώνιου προβλήματος έχουν άπειρες λύσεις. Αν οσοιδήποτε από τους δοσμένους κύκλους ταυτίζονται υπάρχουν αντίστοιχα άπειρες λύσεις. Αν μόνο δύο από τους δοσμένους κύκλους ταυτίζονται τότε υπάρχουν δύο διακριτοί δοσμένοι κύκλοι και τα κέντρα των κύκλων λύσεων σχηματίζουν μία [[υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολή]], όπως χρησιμοποιήθηκε στην [[#Διατεμνόμενες υπερβολές|μία λύση]] του απολλώνιου προβλήματος.
{{cite web|authorlink= Eric W. Weisstein|author= Weisstein, EW| title = Four Coins Problem| url = http://mathworld.wolfram.com/FourCoinsProblem.html| publisher = [[MathWorld]]| accessdate = 2008-10-06}}</ref> Οι τρεις δοσμένοι κύκλοι αυτού του προβλήματος σχηματίζουν μία [[Αλυσίδα Steiner]] που εφάπτεται στους δύο κύκλους Soddy.
 
[[Αρχείο:DescartesCircles.svg|thumb|left|Σχήμα 12: Οι δύο λύσεις (κόκκινο) στο απολλώνιο πρόβλημα με αμοιβαίως εφαπτόμενους δοσμένους κύκλους (μαύρο), με σημειωμένες τις καμπυλότητές τους.]]
 
Οποιοσδήποτε από τους κύκλους Soddy αν παρθεί μαζί με τους τρεις δοσμένους κύκλους παράγει ένα σύνολο κύκλων που είναι όλοι αμοιβαίως εφαπτόμενοι σε έξι σημεία. Οι ακτίνες αυτών των κύκλων σχετίζονται με μία εξίσωση που είναι γνωστή ως [[Θεώρημα του Καρτέσιου]]. Το 1643 σε ένα γράμμα του στην πριγκίπισσα [[Ελισάβετ της Βοημίας]]<ref>[[René Descartes|Descartes R]], ''Œuvres de Descartes, Correspondance IV'', (C. Adam and P. Tannery, Eds.), Paris: Leopold Cert 1901. {{fr}}</ref> ο [[Ρενέ Ντεκάρτ|Καρτέσιος]] έδειξε ότι:
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί στην κατασκευή όλων των κύκλων που τέμνουν τρεις δοσμένους κύκλους με μία συγκεκριμένη γωνία θ ή με τρεις συγκεκριμένες γωνίες θ<sub>1</sub>, θ<sub>2</sub> και θ<sub>3</sub>;,<ref name="steiner_1826" /> το σύνηθες πρόβλημα αντιστοιχεί στην ειδική περίπτωση στην οποία ή γωνία τομής είναι μηδέν για όλους τους δοσμένους κύκλους. Μια άλλη γενίκευση είναι η [[δυαδικότητα (μαθηματικά)|δυαδική]] της πρώτης επέκτασης, και συνίσταται στην κατασκευή κύκλων με τρεις συγκεκριμένες αποστάσεις επαφής από τρεις δοσμένους κύκλους.<ref name="zlobec_2001" />
 
[[Αρχείο:Apollonian gasket.svg|thumb|left|Σχήμα 13: Ένα συμμετρικό απολλώνιο έμβυσμα (ονομάζεται και ''Leibniz packing'' από τον εφευρέτη της, [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]]).]]
 
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί από το επίπεδο σε [[σφαίρα|σφαιρική επιφάνεια]] και άλλες δευτεροβάθμιες επιφάνειες. Για την σφαίρα, το πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή όλων των κύκλων (όρια των [[σφαιρική τομή|σφαιρικών τομών]]) που εφάπτονται σε τρεις δοσμένους κύκλους επί της σφαίρας.<ref name="gergonne_1814" /><ref name="carnot_1803b" >{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1803| title = Géométrie de position| publisher = Unknown publisher| location = Paris| pages = 415, §356}}</ref><ref name="vanson_1855" >{{cite journal| author = Vannson| year = 1855| title = Contact des cercles sur la sphère, par la geométrie| journal = Nouvelles Annales de Mathématiques| volume = XIV| pages = 55–71}} {{fr icon}}</ref> Αυτό το σφαιρικό πρόβλημα μπορεί να μετασχηματιστεί σε επίπεδο πρόβλημα χρησιμοποιώντας [[στερεογραφική προβολή]]. Αφού κατασκευαστούν οι λύσεις στο επίπεδο πρόβλημα μπορούν να καθοριστούν οι λύσεις του του σφαιρικού προβλήματος με αντιστροφή της στερεογραφικής προβολής. Ακόμα γενικότερα, μπορεί να θεωρηθεί το πρόβλημα τεσσάρων εφαπτόμενων καμπυλών που προκύπτουν από την τομή τυχαίων δευτεροβάθμιων επιφανειών με τέσσερα επίπεδα, όπως προτάθηκε για πρώτη φορά από τον ''[[Charles Dupin]].<ref name="altshiller-court_1961" />
25.362

επεξεργασίες